Basis finden < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Sa 03.04.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Für die folgenden Mengen $\ S [mm] \subseteq \mathbb K^n [/mm] $ bestimme man Basen der linearen Hülle $\ L(S) $, und ergänze diese zu einer Basis des $\ [mm] \mathbb K^n [/mm] $
a) $\ S:= [mm] \{(-2,3,1,-1),(0,1,-1,0),(6,2,0,3),(6,0,2,3)\}, [/mm] \ \ [mm] \mathbb K^n:= \IR^4 [/mm] $ |
Hallo,
die Lineare Hülle $\ L(S) $ ist hier $\ S = [mm] span(s_1,...,s_n) [/mm] $.
Ich habe hier irgendwie ein paar Schwierigkeiten dabei, die Basis zu bestimmen.
Man muss doch lediglich die Matrix $\ A = [mm] \pmat{ -2 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 6 & 2 & 0 & 3 \\ 6 & 0 & 2 & 3 } [/mm] $ mittels Gauß-Algorithmus auf die Zeilenstufenform bringen.
Also:
$\ [mm] \pmat{ -2 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 6 & 2 & 0 & 3 \\ 6 & 0 & 2 & 3 } [/mm] $
$\ [mm] \pmat{ -2 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 11 & 3 & 0 \\ 0 & 9 & 5 & 0} [/mm] $
Und von hier an kommt nur noch Schwachsinn bei mir raus.
Entweder das ganze wird zu einer $\ 2 [mm] \times [/mm] 4 $-Matrix oder es kommen relativ große Zahlen raus... mir ist das schon unangenehm, dass ich das ueberhaupt nicht hinkriege.
Meine nächsten Schritte wären 11*II - III und 9*II - IV
Warum ist das falsch?
Würde mich freuen, wenn mir jemand sagen kann, was ich falsch mach und was ich scheinbar nicht verstanden habe. Irgendwas muss ich jedenfalls mächtig falsch verstanden haben, dass ich an solchen Aufgaben noch immer scheitere.
Grüße
ChopSuey
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> Für die folgenden Mengen [mm]\ S \subseteq \mathbb K^n[/mm]
> bestimme man Basen der linearen Hülle [mm]\ L(S) [/mm], und
> ergänze diese zu einer Basis des [mm]\ \mathbb K^n[/mm]
>
> a) [mm]\ S:= \{(-2,3,1,-1),(0,1,-1,0),(6,2,0,3),(6,0,2,3)\}, \ \ \mathbb K^n:= \IR^4[/mm]
>
> Hallo,
>
> die Lineare Hülle [mm]\ L(S)[/mm] ist hier [mm]\ S = span(s_1,...,s_n) [/mm].
>
> Ich habe hier irgendwie ein paar Schwierigkeiten dabei, die
> Basis zu bestimmen.
>
> Man muss doch lediglich die Matrix [mm]\ A = \pmat{ -2 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 6 & 2 & 0 & 3 \\ 6 & 0 & 2 & 3 }[/mm]
> mittels Gauß-Algorithmus auf die Zeilenstufenform
> bringen.
Hallo,
"muß" ist immer so eine Sache...
Auf jeden Fall kann man das so machen.
>
> Also:
>
> [mm]\ \pmat{ -2 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 6 & 2 & 0 & 3 \\ 6 & 0 & 2 & 3 }[/mm]
>
> [mm]\ \pmat{ -2 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 11 & 3 & 0 \\ 0 & 9 & 5 & 0}[/mm]
>
> Und von hier an kommt nur noch Schwachsinn bei mir raus.
> Entweder das ganze wird zu einer [mm]\ 2 \times 4 [/mm]-Matrix
Das wäre ja nichts Schlimmes, sofern kein Rechenfehler dahintersteckt.
Die verbleibenden Nichtnullzeilen wären eine basis des aufgespannten Raumes.
Wenn ich mich nicht täusche, hat die Matrix jedoch den Rang 3.
Rechne doch einfach mal weiter.
> oder
> es kommen relativ große Zahlen raus... mir ist das schon
> unangenehm, dass ich das ueberhaupt nicht hinkriege.
>
> Meine nächsten Schritte wären 11*II - III und 9*II - IV
>
> Warum ist das falsch?
Wer sagt denn, daß es falsch ist?
Ich find's richtig.
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand sagen kann, was ich
> falsch mach und was ich scheinbar nicht verstanden habe.
> Irgendwas muss ich jedenfalls mächtig falsch verstanden
> haben, dass ich an solchen Aufgaben noch immer scheitere.
Bisher konnte ich nichts Verkehrtes entdecken. Rechne bis zum Ende.
Möglicherweise liegt es bloß an nicht genügend ausgeprägten Fertigkeiten in den Grundrechnungsarten...
Gruß v. Angela
>
> Grüße
> ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 So 04.04.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Angela,
danke für die schnelle Hilfe.
Ich bin wohl ganz einfach viel zu schludrig.
Ich habe noch ein paar Fragen...
Angenommen, ich habe wie im obigen Fall eine Basis mittels Gauß-Algorithmus gefunden. Gibt es eine Möglichkeit zu überprüfen, ob meine gefundene Basis auch wirklich eine Basis ist? Bzw zu überprüfen, ob ich auch bis zum Ende richtig gerechnet habe?
Und kann es passieren, dass ich mittels Gauß-Algorithmus verschiedene Basen finden kann, oder ist das Ergebnis nach der Umformung des LGS in Zielstufenform immer eindeutig? (Abgesehen von Vielfachheit vielleicht)
Lässt sich der Rang einer Matrix nur über den Rang der linearen Abbildung, durch die die Matrix konstruiert wird, bestimmen? Oder gibt es noch weitere Möglichkeiten?
> Möglicherweise liegt es bloß an nicht genügend
> ausgeprägten Fertigkeiten in den Grundrechnungsarten...
Das passiert mir allerdings immer nur wenn es um Lineare Gleichungssysteme geht. Sonst bin ich in der Regel relativ sicher im Rechnen.
Danke für deine Hinweise, Angela.
Freue mich über Antworten.
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:11 So 04.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
> Hallo Angela,
>
> danke für die schnelle Hilfe.
>
> Ich bin wohl ganz einfach viel zu schludrig.
>
> Ich habe noch ein paar Fragen...
>
> Angenommen, ich habe wie im obigen Fall eine Basis mittels
> Gauß-Algorithmus gefunden. Gibt es eine Möglichkeit zu
> überprüfen, ob meine gefundene Basis auch wirklich eine
> Basis ist? Bzw zu überprüfen, ob ich auch bis zum Ende
> richtig gerechnet habe?
>
> Und kann es passieren, dass ich mittels Gauß-Algorithmus
> verschiedene Basen finden kann, oder ist das Ergebnis nach
> der Umformung des LGS in Zielstufenform immer eindeutig?
> (Abgesehen von Vielfachheit vielleicht)
Abgesehen von Vielfachheit ist das glaube ich eindeutig.
> Lässt sich der Rang einer Matrix nur über den Rang der
> linearen Abbildung, durch die die Matrix konstruiert wird,
> bestimmen? Oder gibt es noch weitere Möglichkeiten?
bin mir nicht ganz sicher, ob ich dich da richtig verstehe, aber nimm sowohl die Zeilen, als auch die Spaltenvektoren und bestimme die dimension des aufgespannten (unter-)vektorraumes des [mm] \IR^n. [/mm] da zeilen und spalten-rang gleich sind entspricht das dann auch dem rang der matrix.
oder war es das, was du schon immer getan hast ?
> > Möglicherweise liegt es bloß an nicht genügend
> > ausgeprägten Fertigkeiten in den Grundrechnungsarten...
>
> Das passiert mir allerdings immer nur wenn es um Lineare
> Gleichungssysteme geht. Sonst bin ich in der Regel relativ
> sicher im Rechnen.
>
> Danke für deine Hinweise, Angela.
>
> Freue mich über Antworten.
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
>
>
>
>
lg
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> Hallo Angela,
>
> danke für die schnelle Hilfe.
>
> Ich bin wohl ganz einfach viel zu schludrig.
>
> Ich habe noch ein paar Fragen...
>
> Angenommen, ich habe wie im obigen Fall eine Basis mittels
> Gauß-Algorithmus gefunden. Gibt es eine Möglichkeit zu
> überprüfen, ob meine gefundene Basis auch wirklich eine
> Basis ist? Bzw zu überprüfen, ob ich auch bis zum Ende
> richtig gerechnet habe
Hallo,
bei richtiger Rechnung ist das natürlich nicht nötig.
Die lineare Unabhängigkeit springt einem ja bei der ZSF ins Auge, und dann könntest Du noch überprüfen, ob Du jeden DeienrStartvektoren als Linearkombination der errechneten Basis darstellen kannst. Normalerweise verläßt man sich aber auf seine Rechnung.
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> Und kann es passieren, dass ich mittels Gauß-Algorithmus
> verschiedene Basen finden kann, oder ist das Ergebnis nach
> der Umformung des LGS in Zielstufenform immer eindeutig?
Nein, die ZSF ist nicht eindeutig. Eindeutig ist die reduzierte Zeilenstufenform.
> (Abgesehen von Vielfachheit vielleicht)
>
> Lässt sich der Rang einer Matrix nur über den Rang der
> linearen Abbildung, durch die die Matrix konstruiert wird,
> bestimmen? Oder gibt es noch weitere Möglichkeiten?
??? Ich weiß nicht, was Du meinst. Der Rang ist die Dimension des von den Spalten aufgespannten Raumes, welche stets gleich ist der des von den Zeilen aufgespannten Raumes.
Gruß v. Angela
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