Basis für Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Sa 27.11.2010 | | Autor: | kioto |
f: [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] mit f(x,y,z)=5x-7y+4z
ges.:Basis für Kern(f) und Bild(f)
dazu brauche ich doch eine matrix, kann ich einfach das nehmen?
5 -7 4
0 -1 0
0 0 -1
hätte ich dann für Kern (f) = [mm] \pmat{ -7 \\ -1 \\ 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 4 \\ 0 \\ -1 } [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 So 28.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
1. Nehmen wir mal an, Deine Matrix würde stimmen. Dann solltest Du auf den ersten Blick sehen, daß Deine beiden Vektoren nicht im Kern liegen. Wegen der zweiten und dritten Zeile müssen schon mal der zweite und der dritte Koeffizient 0 sein, und damit auch der erste.
2. Wie soll eine [mm] $\IR^{3\times 3}$ [/mm] Matrix die Abbildungsmatrix einer Funktion [mm] $\IR^3\to\IR$ [/mm] sein? Wie der Name schon sagt, ist das, was bei einer 3x3 Matrix rauskommt ein Vektor im [mm] $\IR^3$ [/mm] und nicht eine reelle Zahl.
Eine Matrix, die man von rechts mit einem Element des [mm] $\IR^3$ [/mm] multiplizieren kann, hat zwangsläufig 3 Spalten, und weil ein Element des [mm] $\IR$ [/mm] rauskommen soll hat sie eine Zeile, also eine [mm] $\IR^{1\times 3}$ [/mm] Matrix, d.h. ein Zeilenvektor. Der soll die Abbildungsmatrix von f sein, damit muß gelten
$5x-7y+4z = [mm] \pmat{a & b& c}\pmat{x\\y\\z}$
[/mm]
Wie sieht die Matrix also aus?
3. Habt Ihr nicht eine Definition von Kern und Bild, die unabhängig von einer Matrix ist? Wäre hier einfacher.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 So 28.11.2010 | | Autor: | kioto |
hab was im wikipedia gesehen
f: V [mm] \to [/mm] W
ker f:= {v [mm] \in [/mm] V | f(v) = 0 [mm] \in [/mm] W}
kann ich das hier anwenden?
Sieht die Matrix dann so aus?
(5, -7, [mm] 4)\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 So 28.11.2010 | | Autor: | Blech |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
stimmt beides, und beides läuft auch auf's gleiche raus.
Du hast 1 Gleichung für 3 Unbekannte, also wird der Kern Dimension 2 haben. Ich denke das einfachste ist, wenn Du für den ersten Basis Vektor
x=1, y=0
setzt,und für den zweiten
x=0,y=1. z ist dann jeweils?
Und das Bild ist die Menge aller Punkte, die bei f(x,y,z) rauskommen können, also
$\text{Bild}(f)=\left\{r\in\IR\,\left|\ \exists \pmat{x\\y\\z}\in\IR^3:\ f(x,y,z)=r\right\}\right.$
Welche Punkte des $\IR$ kann man mit f darstellen? Oder anders gefragt, warum gilt natürlich Bild(f)=$\IR$? =)
ciao
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:15 So 28.11.2010 | | Autor: | kioto |
ich komme gerade überhaupt nicht weiter......
meinst du für z
5x1 - 7x0 +4xz=0
5x0 - 7x1 +4xz=0?
aber so bekomme ich doch zwei verschiebene z raus.....
bin gerade total verzweifelt, was meinst du mit welchen Punkten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:22 Mi 01.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 01:28 So 28.11.2010 | | Autor: | kioto |
> Und das Bild ist die Menge aller Punkte, die bei f(x,y,z)
> rauskommen können, also
>
> [mm]\text{Bild}(f)=\left\{r\in\IR\,\left|\ \exists \pmat{x\\y\\z}\in\IR^3:\ f(x,y,z)=r\right\}\right.[/mm]
>
> Welche Punkte des [mm]\IR[/mm] kann man mit f darstellen? Oder
> anders gefragt, warum gilt natürlich Bild(f)=[mm]\IR[/mm]? =)
>
Bild(f) = [mm] \IR [/mm]
ist das so, weil ist jede Zahl für x, y und z einsetzen kann? warum ist es nicht [mm] \IR^3?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mi 01.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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