Basis für Schnitt V,W < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien V und W Unterräume von [mm] \IR^5 [/mm] mit den Basen [mm] {v_1,v_2,v_3}={(1,3,-2,2,3),(1,4,-3,4,2),(1,3,0,2,3)} [/mm] und [mm] {w_1,w_2,w_3}={(2,3,-1,-2,9),(1,5,-6,6,1),(2,4,4,2,8)}. [/mm] Finde Basen für V+W und V [mm] \cap [/mm] W. |
Hallo!
Also ich starte mit der Matrix [mm] Q=[v_1v_2v_3w_1w_2w_3]=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 3 & 5 & 4 \\ -2 & -3 & 0 & -1 & -6 & 4 \\ 2 & 4 & 2 & -2 & 6 & 2 \\ 3 & 2 & 3 & 9 & 1 & 8}. [/mm]
Diese bringe ich mit Gauß in die Zeilenstufenform: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Dann weiß ich schonmal, dass dim(V+W) = 4. Ich wähle die 1,2,3 und 6 Spalte meiner Ausgangsmatrix Q als Basis für V+W, oder?
Wie genau bestimme ich jetzt eine Basis für V [mm] \cap [/mm] W ? Kann ich dazu einfach nur die 4,5 Spalte von Q als Basis wählen?
Ich habe eine Lösung dazu, in der ist eine Basis für N(Q) also den Kern ausgerechnet worden. Es ist [mm] y_1=(-5,3,0,1,0,0) [/mm] und [mm] y_2=(0,-2,1,0,1,0). [/mm] Dies liefert dann die Gleichungen: [mm] -5v_1+3v_2+w_1=0, -2v_2+v_3+w_2=0 [/mm] Daraus folgt: [mm] x_1=5v_1-3v_2 [/mm] = [mm] w_1 x_2 [/mm] = [mm] 2v_2-v_3=w_2. [/mm]
Dann sind ja [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] wieder die beiden Basisvektoren. Wozu muss ich diesen Umweg über den Kern machen?
Kann es sein, dass dies nur dazu da ist um die Dimensionsformel zu überprüfen? Denn hier steht, dass dimN(Q)=dim(V [mm] \cap [/mm] W) = 2. Warum ist dimN(Q)=dim(V [mm] \cap [/mm] W) das Gleiche?
Ich glaub ich kann mir irgendwie das mit dem Durchschnitt nicht so richtig vorstellen. Wäre nett, wenn mir da nochmal jemand helfen könnte.
Danke viele Grüße Patrick
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Hi !
Zur Bestimmung der Basis von V [mm] \cap [/mm] W :
sei v [mm] \in [/mm] V , w [mm] \in [/mm] W , a,b [mm] \in [/mm] K
Wenn jetzt w [mm] \in [/mm] (V [mm] \cap [/mm] W) gilt, dann ist ja auch w [mm] \in [/mm] V ..
also gilt: w = [mm] a_{1}*v_{1}+...+a_{3}*v_{3} [/mm]
[mm] \to [/mm] 0 = w- [mm] a_{1}*v_{1}+...+a_{3}*v_{3}
[/mm]
w:= [mm] b_{1}*w_{1}+...+b_{3}*w_{3}
[/mm]
[mm] \to [/mm] 0 = [mm] [b_{1}*w_{1}+...+b_{3}*w_{3}] [/mm] -
[mm] (a_{1}*v_{1}+...+a_{3}*v_{3})
[/mm]
Dementsprechend wird dann die Matrix gebildet ..
Nach Umformung der Matrix, so wie du das oben auch schon gemacht hast, sollte man eigentlich die Basisvektoren vom Unterraum V [mm] \cap [/mm] W ablesen können .. wenn ich mich jetzt irgendwie nicht versehen hab ..
gruß PoMpEiUs
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