Basis für Vektorraum A^t < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei V = {A [mm] \in M_2{\IR} [/mm] | [mm] A^t [/mm] = A} (wobei [mm] A^t [/mm] die transponierte Matrix von A ist). Gib eine Basis für V. |
Hallo :)
Die Matrizen in der Menge V müssen, wenn ich es richtig verstanden habe, alle die Form [mm] \pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] haben (wobei a, b, c [mm] \in \IR, [/mm] werde ich im Folgenden nicht mehr erwähnen). Ich weiß jetzt allerdings nicht, welche allgemein gültige Technik ich anwenden muss, um für die o.g. Menge eine Basis zu finden. Intuitiv würde ich sagen, dass die Basis aus den Matrizen [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & b \\ b & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & c } [/mm] bestehen muss, weil dann gilt:
[mm] a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] b\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] + [mm] c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ a & b \\ b & c }
[/mm]
Stimmt das so? Und wenn ja, muss ich dann noch mehr Schritte unternehmen? Ich fand das hier eigentlich relativ logisch, nur wie gehe ich vor, wenn das mal nicht so ist und wenn ich zu irgendeiner Menge eine Basis finden muss?
Vielen Dank für jede Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 So 14.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Es sei V = {A [mm]\in M_2{\IR}[/mm] | [mm]A^t[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= A} (wobei [mm]A^t[/mm] die
> transponierte Matrix von A ist). Gib eine Basis für V.
> Hallo :)
>
> Die Matrizen in der Menge V müssen, wenn ich es richtig
> verstanden habe, alle die Form [mm]\pmat{ a & b \\ b & c }[/mm]
> haben (wobei a, b, c [mm]\in \IR,[/mm] werde ich im Folgenden nicht
> mehr erwähnen).
nicht nur "erzählen", sondern auch beweisen:
Sei auch $d [mm] \in \IR\,,$ [/mm] dann gilt
[mm] $\pmat{ a & b \\ c & d } \in [/mm] V$
[mm] $\iff$ $\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ a & c \\ b & d }\,.$
[/mm]
Daraus folgt Deine Behauptung durch Vergleich der Einträge.
> Ich weiß jetzt allerdings nicht, welche
> allgemein gültige Technik ich anwenden muss, um für die
> o.g. Menge eine Basis zu finden. Intuitiv würde ich sagen,
> dass die Basis aus den Matrizen [mm]\pmat{ a & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & b \\ b & 0 }[/mm]
> und [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & c }[/mm]
Für feste [mm] $a,b,c\,,$ [/mm] die alle [mm] $\not=0$ [/mm] sind.
> bestehen muss, weil dann gilt:
>
> [mm]a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]b\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] +
> [mm]c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ a & b \\ b & c }[/mm]
Dann nehmen wir hier am Besten die Familie
[mm] $(\;\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }\;)$
[/mm]
> Stimmt das so?
Letzteres stimmt dann so. Warum? Naja:
1. Es ist (relativ) klar, dass Du/wir so ein Erzeugendensystem von [mm] $V\,$ [/mm] angegeben
hast/haben.
2. Mir ist relativ klar, dass das EZS auch minimal ist. Du solltest aber auch
jeden Skeptiker davon überzeugen können.
> Und wenn ja, muss ich dann noch mehr
> Schritte unternehmen?
Siehe oben.
Es gibt auch noch eine alternative Möglichkeit, wenn man nicht mit dem
Argument des minimalen EZS kommen will:
Du zeigst, dass die Familie
[mm] $(\;\pmat{1 & 0\\0 & 0}, \pmat{0&1\\1&0}, \pmat{0&0\\0&1}\;)$
[/mm]
linear unabhängig ist.
Weil sie zudem ein EZS von [mm] $V\,$ [/mm] ist, ist sie eine maximale linear unabhg.
Familie in [mm] $V\,$ [/mm] und bildet damit eine Basis.
> Ich fand das hier eigentlich relativ
> logisch, nur wie gehe ich vor, wenn das mal nicht so ist
> und wenn ich zu irgendeiner Menge eine Basis finden muss?
Generell ist das schwer zu sagen. Hier kanntest Du ja durchaus auch eine
Basis von [mm] $M_2(\IR)\,,$ [/mm] und in dem besagten Unterraum (man sollte eigentlich
auch nachrechnen, dass das einer ist) konntest Du durchaus auch Basiselemente
von [mm] $V\,$ [/mm] aufnehmen. Wenn Du mal hinguckst:
[mm] $M_2(\IR)$ [/mm] hat die mögliche Basis
[mm] $(\;\pmat{1 & 0\\0 & 0}, \pmat{0&1\\0&0}, \pmat{0&0\\1&0}, \pmat{0&0\\0&1}\;)$
[/mm]
Immerhin zwei Elemente [mm] $X\,$ [/mm] dieser vier Elemente konntest Du auch in eine
Basis für [mm] $V\,$ [/mm] aufnehmen (insbesondere haben die natürlich auch [mm] $X^t=X$ [/mm] erfüllt).
Dann kann man natürlich gucken: Was kann man mit
[mm] $(\;\pmat{1 & 0\\0 & 0}, \pmat{0&0\\0&1}\;)$
[/mm]
in [mm] $V\,$ [/mm] erzeugen - wäre es alles, so wäre man fertig. Aber Du siehst ja,
dass das nicht ausreicht...
Deswegen würde man ein weiteres Element in [mm] $V\,$ [/mm] suchen, so dass das
zusammen mit den obigen beiden eine linear unabhängige Familie bildet.
Du hättest da, für [mm] $\IR \ni [/mm] r [mm] \not=0$ [/mm] auch irgendein
[mm] $\pmat{0 & r\\r & 0}$
[/mm]
hernehmen können. Generell:
Such' mal nach dem Begriff des Basisergänzungssatzes, und schau' Dir den
Beweis dazu an. Im Wesentlichen ist das eine allgemeine mögliche
Vorgehensweise.
> Vielen Dank für jede Hilfe :)
Gerne.
Gruß,
Marcel
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