Basis im R^4 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei der Vektorraum [mm] R^4 [/mm] über R gegeben und seien U:= [mm] \{(x1,x2,x3,x4) \in R^4 fuer die gilt: x2-2x3+x4=0\}.
[/mm]
Geben Sie eine Basis für U an. |
Ich habe mir jetzt folgende vektoren überlegt: v1=(1,1,0,-1), v2=(1,2,1,0), v3=(2,0,1,-2), v4=(0,-1,1,-1)
Nun muss Ich ja überprüfen, ob die 1. linear unabhängig sind und ob die 2. ein Erzeugendensystem von U sind.
das erste habe Ich schon nachgewiesen, nun weiß Ich jedoch nicht, wie Ich hier nachweisen kann, ob ein Erzeugendensystem vorliegt.
Habe diese Frain keinem anderen Forum gestellt.
Danke schonmal im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Mi 02.05.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
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> Geben Sie eine Basis für U an.
> Ich habe mir jetzt folgende vektoren überlegt:
> v1=(1,1,0,-1), v2=(1,2,1,0), v3=(2,0,1,-2), v4=(0,-1,1,-1)
...die Vektoren sind ganz nett, nur liegt [mm] v_3 [/mm] ja nicht in U, da $0-2*1+(-2) = -4 [mm] \not=0$. [/mm] Aber das macht ichts, denn Du wirst auch keine 4 linear unabhängigen Vektoren finden, die alle in U liegen. Arbeite also künftig nur mit [mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_4.
[/mm]
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> Nun muss Ich ja überprüfen, ob die 1. linear unabhängig
> sind und ob die 2. ein Erzeugendensystem von U sind.
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> das erste habe Ich schon nachgewiesen, nun weiß Ich jedoch
> nicht, wie Ich hier nachweisen kann, ob ein
> Erzeugendensystem vorliegt.
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> Habe diese Frain keinem anderen Forum gestellt.
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> Danke schonmal im Vorraus.
Um nachzuweisen, dass du hier ein Erzeugendensystem vorliegen hast musst Du ja zeigen, dass sich jeder beliebige Vektor aus U als Linearkombination von [mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] darstellen lässt. Um einen solchen "beliebigen" Vektor zu erhalten kannst Du ja die ersten drei Koordinaten erstmal ganz allgemein lassen (also z.B. a,b,c). Wenn Du die 4. Koordinate nun aus der beschreibenden Gleichung von U bestimmst, dann liegt dieser Vektor ja sicher im Unterraum. Nennen wir diesen Vektor mal u, dann setzt Du diesen einfach als Linearkombination Deiner potentiellen Basis an (also [mm] $u=\lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \lambda_4 v_4$) [/mm] und zeigst, dass es für [mm] \lambda_1,...\lambda_4 [/mm] immer eine Lösung gibt.
Gruß
piet
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