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Hallo allerseits.
kann sich wohl mal wer folgende Aufgabe ansehen? Bin mir mit dem ganzen Thema noch relativ unsicher.
Ich habe die drei Vektoren u:= [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 5 \\ -3} [/mm] , v:= [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1 \\ -4} [/mm] und w:= [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1 \\ -4} [/mm] deren lineare Hülle einen Untervektorraum V von [mm] \IR^{4} [/mm] bilden.
Nun soll ich schauen, ob sie linear abhängig sind oder nicht. Dann aus den Vektoren eine Teilmenge auswählen, die eine Basis von V bilden und die Dimension von V angeben. Dann soll ich noch die gewählte Basis von V zu einer Basis von [mm] \IR^{4} [/mm] ergänzen.
Gezeigt, dass sie linear abhängig sind habe ich. Nun kann ich mir doch einfach die voneinander linear unabhängigen Vektoren u und v als Basis von [mm] \IR^{4} [/mm] rausnehmen oder?
Nun zur Dimension: Selbige kann man doch nur bzgl. linear unabhängiger Vektoren angeben oder? Also wäre dim V in diesem Fall = 2 wenn ich mir wie bereits geschrieben u und v als Basis rausnehme.
Nun ergänze ich die zwei Vektoren u und v mit dem Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] . Das sollte doch machbar sein? Dann sind die drei Vektoren u, v und [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] linear unabhängig. Nun zu meinem eigentlich Problem. Bilden diese drei Vektoren nun eine Basis von [mm] \IR^{4} [/mm] ? Ich weiß irgendwie nicht, wodran ich das erkennen kann.
Vielen Dank!
???: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. ???
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Hallo!
> Ich habe die drei Vektoren u:= [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 5 \\ -3}[/mm]
> , v:= [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 1 \\ -4}[/mm] und w:= [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 1 \\ -4}[/mm]
> deren lineare Hülle einen Untervektorraum V von [mm]\IR^{4}[/mm]
> bilden.
>
> Nun soll ich schauen, ob sie linear abhängig sind oder
> nicht. Dann aus den Vektoren eine Teilmenge auswählen, die
> eine Basis von V bilden und die Dimension von V angeben.
> Dann soll ich noch die gewählte Basis von V zu einer Basis
> von [mm]\IR^{4}[/mm] ergänzen.
>
> Gezeigt, dass sie linear abhängig sind habe ich. Nun kann
> ich mir doch einfach die voneinander linear unabhängigen
> Vektoren u und v als Basis von [mm]\IR^{4}[/mm] rausnehmen oder?
Mmh, das hier hängt irgendwie mit dem ganzen Folgenden zusammen. Eine Basis ist nach Definition ein minimales Erzeugendensystem. (Vielleicht verwirrt dich dieser Satz nur, dann lies nur den nächsten.) Das heißt aber auch, dass eine Basis den Raum "aufspannen" also erzeugen können muss, und dafür ist es nötig, dass die Basis die gleiche Dimension hat, wie der Raum. (Ich weiß nicht, ob das so mathematisch korrekt ausgedrückt ist...) Jedenfalls brauchst du im [mm] \IR^3 [/mm] immer genau drei Basisvektoren, im [mm] \IR^4 [/mm] genau 4 usw.. Siehst du hieraus, was mit Dimension gemeint ist? Also quasi immer das "hoch" irgendwas. Du erkennst es aber auch an der Dimension eines Vektors, wenn er vier Komponenten hat, dann ist die Dimension vier und du kannst weder mit unendlich vielen Vektoren der Dimension 3 einen vierdimensionalen Raum aufspannen noch mit weniger als 4 vierdimensionalen Vektoren. Also reichen deine zwei Vektoren nicht für den [mm] \IR^4 [/mm] als Basis.
Allerdings finde ich hier auch, dass die Aufgabe etwas schlecht gestellt ist, denn ich weiß nicht so ganz, was hierbei mit V gemeint ist...
> Nun zur Dimension: Selbige kann man doch nur bzgl. linear
> unabhängiger Vektoren angeben oder? Also wäre dim V in
> diesem Fall = 2 wenn ich mir wie bereits geschrieben u und
> v als Basis rausnehme.
Mmh... Also, nur bzgl. linear unabhängiger Vektoren ist auch nicht so ganz richtig. Wenn du z. B. die Vektoren [mm] \vektor{1\\1}, \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1} [/mm] betrachtest. Diese sind offensichtlich linear abhängig und demnach keine Basis. Sie spannen aber trotzdem den [mm] \IR^2 [/mm] auf (sind also ein Erzeugendensystem. Und der Raum, den sie erzeugen, ist der [mm] \IR^2, [/mm] also ist die Dimension 2.
Und nochmal zu dem komischen V: wenn diese zwei Vektoren als Basisvektoren reichen würden, dann wäre die Dimension von V 2, das ist richtig. Aber meines Wissens können zwei vierdimensionale Vektoren überhaupt keinen Raum aufspannen...
> Nun ergänze ich die zwei Vektoren u und v mit dem Vektor
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] . Das sollte doch machbar sein?
> Dann sind die drei Vektoren u, v und [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> linear unabhängig. Nun zu meinem eigentlich Problem.
> Bilden diese drei Vektoren nun eine Basis von [mm]\IR^{4}[/mm] ? Ich
> weiß irgendwie nicht, wodran ich das erkennen kann.
Ja, du darfst u und v mit diesem Vektor da ergänzen, da sie er linear unabhängig von den beiden ist, könntest du so eine Basis bilden. Allerdings - siehe oben - reicht das nicht als Basis. Du bräuchtest noch einen vierten Vektor.
Ich hoffe, es ist ein bisschen klarer geworden und ich habe dich nicht erst noch verwirrt...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:51 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo schnuffel,
> Ich habe die drei Vektoren u:= [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 5 \\ -3}[/mm]
> , v:= [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 1 \\ -4}[/mm] und w:= [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 1 \\ -4}[/mm]
> deren lineare Hülle einen Untervektorraum V von [mm]\IR^{4}[/mm]
> bilden.
>
> Nun soll ich schauen, ob sie linear abhängig sind oder
> nicht. Dann aus den Vektoren eine Teilmenge auswählen, die
> eine Basis von V bilden und die Dimension von V angeben.
> Dann soll ich noch die gewählte Basis von V zu einer Basis
> von [mm]\IR^{4}[/mm] ergänzen.
>
> Gezeigt, dass sie linear abhängig sind habe ich. Nun kann
> ich mir doch einfach die voneinander linear unabhängigen
> Vektoren u und v als Basis von [mm]\IR^{4}[/mm] rausnehmen oder?
Als Basis von V, meintest du, dann ist's richtig.
> Nun zur Dimension: Selbige kann man doch nur bzgl. linear
> unabhängiger Vektoren angeben oder? Also wäre dim V in
> diesem Fall = 2 wenn ich mir wie bereits geschrieben u und
> v als Basis rausnehme.
Exakt.
Die Anzahl der Vektoren einer Basis eines (endlichen) (Unter-) Vektorraums nennt man die Dimension. Diese Anzahl ist wohldefiniert, denn jede (weitere) Basis des (Unter-) Vektorraumes hat dieselbe Anzahl an Vektoren.
> Nun ergänze ich die zwei Vektoren u und v mit dem Vektor
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] . Das sollte doch machbar sein?
> Dann sind die drei Vektoren u, v und [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> linear unabhängig.
Mit Ergänzung meinst du eine Ergänzung zur Basis des [mm] $\IR^4$.
[/mm]
Okay, das ist dann der erste Schritt, aber es fehlt ein Vektor, denn die Dimension des [mm] $\IR^4$ [/mm] ist 4, also benötigen wir vier linear unabhängige Vektoren.
(Dass die Dimension von [mm] $\IR^4$ [/mm] 4 ist sieht man daran, dass die kanonische Basis [mm] $\{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\}$ [/mm] aus vier Vektoren besteht.)
> Nun zu meinem eigentlich Problem.
> Bilden diese drei Vektoren nun eine Basis von [mm]\IR^{4}[/mm] ? Ich
> weiß irgendwie nicht, wodran ich das erkennen kann.
Nein, du brauchst vier linear unabhängige Vektoren, um den [mm] $\IR^4$ [/mm] zu erzeugen.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Mo 20.12.2004 | | Autor: | schnuffel |
Ok, vielen Dank für eure Hilfe!
Und ja, ich meinte eine Basis von V und eine Ergänzung zu einer Basis von [mm] \IR^{4}. [/mm] Hab ich falsch bzw. unsauber geschrieben.
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