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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Do 22.07.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Wir betrachten den reellen Vektorraum $ [mm] \IR^4 [/mm] $. Sei $ U $ der lineare Teilraum, welcher durch die Gleichungen
$ [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0 $
$ [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 -x_3 -2x_4 [/mm] = 0 $
für $ [mm] (x_1, x_2, x_3, x_4)^T \in \IR^4 [/mm] $ definiert ist.
Weiter sei $ V $ der lineare Teilraum, welcher von den Vektoren $ [mm] (1,3,0,0)^T$ [/mm] und $ [mm] (3,1,0,0)^T [/mm] $ aufgespannt wird. Bestimmen Sie eine Basis für den linearen Teilraum $ U [mm] \cap [/mm] V $. |
Moin,
das ist eine Aufgabe aus der linearen Algebra I, bei der ich gerne wissen würde, ob meine Lösung richtig ist.
Es ist $ V = [mm] \operatorname{span}\left( \vektor{1 \\ 3 \\ 0 \\ 0}, \vektor{3 \\ 1 \\ 0 \\ 0} \right) [/mm] $
Da die Vektoren linear Unabhängig sind, bilden sie eine Basis von $ V $.
Also gilt
$ V = [mm] \left\{ \lambda \vektor{1 \\ 3 \\ 0 \\ 0} + \mu \vektor{3 \\ 1 \\ 0 \\ 0} : \lambda, \mu \in \IR \right\} [/mm] = [mm] \left\{ \vektor{\lambda + 3 \mu \\ 3\lambda +\mu \\ 0 \\ 0} : \lambda, \mu \in \IR \right\} [/mm] $
Also gilt für die Elemente aus $\ U [mm] \cup [/mm] V $
$ [mm] (\lambda [/mm] + 3 [mm] \mu) [/mm] + [mm] (3\lambda +\mu) [/mm] = 0 $
$ [mm] (\lambda [/mm] + 3 [mm] \mu) [/mm] + [mm] (3\lambda +\mu) [/mm] = 0 $
Also $ [mm] \lambda [/mm] = - [mm] \mu [/mm] $
Das Ergebnis eingesetzt in die Basis von V:
$ [mm] \IL [/mm] = [mm] \left\{ \lambda \vektor{-2 \\ 2 \\ 0 \\ 0} : \lambda \in \IR \right\} [/mm] = [mm] span\left( \vektor{-2 \\ 2 \\ 0 \\ 0} \right) [/mm] $
Falls jemand nen kurzen Blick drauf werden würde. Wäre super!
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Do 22.07.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
habe soeben das Lösungsblatt gefunden.
Hat alles gepasst. Die Frage kann auf "beantwortet" gestellt werden.
Vielen Dank!
Grüße
ChopSuey
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