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Basis vom Durchschnitt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Di 10.01.2012
Autor: fab42

Aufgabe
Wir betrachten den Vektorraum [mm] (\IF_{5})^{5}. [/mm] Sei
[mm] U_{1} [/mm] := [mm] span[\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3},\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0},\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2}] [/mm]
und
[mm] U_{2} [/mm] := [mm] span[\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 2},\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1},\vektor{3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1}] [/mm]
Berechne eine Basis von [mm] U_{1} \cap U_{2}. [/mm]

Hallo,
Sei x [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm] , dann kann man x wie folgt darstellen:
mit a,b,c,d,e,f,g [mm] \in \IF_{5} [/mm]
[mm] x=a\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \\ 1}+b\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 2}+c\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1}+d\vektor{3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1}=e\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+f\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}+g\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2} [/mm]
oder
[mm] 0=a\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \\ 1}+b\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 2}+c\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1}+d\vektor{3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1}-e\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}-f\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}-g\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2} [/mm]

Das ergibt dann diese Matrix mit Einträgen aus [mm] \IF_{5}: [/mm]
[mm] \pmat{ 3 & 2 & 1 & 3 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 4 & 1 \\ 4 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & 2 & 3 & 4 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 0 & 3 } [/mm]

diese habe ich dann zunächst in Zeilenstufenform gebracht:
[mm] \pmat{ 3 & 2 & 1 & 3 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & 4 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 } [/mm]

An dieser Stelle komme ich nicht so recht weiter, meine Frage ist:
Wie kann ich das homogenes Gleichungssystem am besten lösen und wie kann ich dann eine Basis von [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] bestimmen? Ist mein Ansatz überhaupt richtig?

Gruß
fab

        
Bezug
Basis vom Durchschnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Di 10.01.2012
Autor: angela.h.b.


> Wir betrachten den Vektorraum [mm](\IF_{5})^{5}.[/mm] Sei
>  [mm]U_{1}[/mm] := [mm]span[\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3},\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0},\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2}][/mm]
>  
> und
>  [mm]U_{2}[/mm] := [mm]span[\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \\ 1},\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 2},\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1},\vektor{3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1}][/mm]
>  
> Berechne eine Basis von [mm]U_{1} \cap U_{2}.[/mm]
>  Hallo,
>  Sei x [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] , dann kann man x wie folgt
> darstellen:
>  mit a,b,c,d,e,f,g [mm]\in \IF_{5}[/mm]
>  [mm]x=a\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \\ 1}+b\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 2}+c\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1}+d\vektor{3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1}=e\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+f\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}+g\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>  
> oder
>  [mm]0=a\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \\ 1}+b\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 2}+c\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1}+d\vektor{3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1}-e\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}-f\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}-g\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>  
> Das ergibt dann diese Matrix mit Einträgen aus [mm]\IF_{5}:[/mm]
>  [mm]\pmat{ 3 & 2 & 1 & 3 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 4 & 1 \\ 4 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & 2 & 3 & 4 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 0 & 3 }[/mm]
>  
> diese habe ich dann zunächst in Zeilenstufenform
> gebracht:
>  [mm]\pmat{ 3 & 2 & 1 & 3 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & 4 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 }[/mm]
>  
> An dieser Stelle komme ich nicht so recht weiter, meine
> Frage ist:
>  Wie kann ich das homogenes Gleichungssystem am besten
> lösen

Hallo,

Dein Ansatz ist richtig, ob jede zahl stimmt, habe ich nicht nachgerechnet.

Zur Lösung:

die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1,2,3,4,5, und Du kannst die 6. und 7. Variable, also f und g frei wählen.

Mit f=s und g=t
erhältst Du aus der letzten Zeile

2e=-2f-2e=3f+3e=3s+3t
Multiplikation mit dem Inversen von 2, also mit 3, ergibt
e=4s+4t,

aus der vorletzten ... usw.
So kannst Du nach und nach die anderen 5 Variablen in Abhängigkeit von s unt t darstellen und schonmal den Lösungsraum des LGS aufschreiben.

Bei der Interpretation kann dann später jemand weiterhelfen, es ist besser, das am Beispiel zu klären als ins Blaue hinein.

LG Angela

> und wie kann ich dann eine Basis von [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm]
> bestimmen? Ist mein Ansatz überhaupt richtig?
>  
> Gruß
>  fab


Bezug
                
Bezug
Basis vom Durchschnitt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Di 10.01.2012
Autor: fab42

Okay, vielen dank
3d=-3s-2t=2s+3t [mm] \Rightarrow [/mm] d=4s+t
...

Ich komme so auf den Lösungsraum:

[mm] \vektor{2t \\ t \\ 3t \\ 4s+t \\ 4s+4t \\ s \\ t} [/mm]

warum hast du t und s gewählt statt f und g?
kann ich daraus folgern das die dim [mm] (U_{1} \cap U_{2})= [/mm] 2 ist?

gruß
fab

Bezug
                        
Bezug
Basis vom Durchschnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Di 10.01.2012
Autor: angela.h.b.


> Okay, vielen dank
>  3d=-3s-2t=2s+3t [mm]\Rightarrow[/mm] d=4s+t
>  ...
>  
> Ich komme so auf den Lösungsraum:

Hallo,

die Zahlen prüfe ich nicht nach.

Du hast jetzt gefunden: alle Vektoren [mm] \vektor{a\\b\\c\\d\\e\\f\\g}, [/mm] die das System lösen, sind von der Gestalt

>  

[mm] >\vektor{a\\b\\c\\d\\e\\f\\g}=[/mm]  [mm]\vektor{2t \\ t \\ 3t \\ 4s+t \\ 4s+4t \\ s \\ t}[/mm]

[mm] =s*\vektor{0\\0\\0\\4\\4\\1\\0}+t*\vektor{2\\1\\3\\1\\4\\0\\1} [/mm]


Den  Lösungsraum könntest Du z.B. schreiben als

[mm] L=\{\vektor{2t \\ t \\ 3t \\ 4s+t \\ 4s+4t \\ s \\ t}| s,t\in \IR\}, [/mm] oder auch

[mm] L=<\vektor{0\\0\\0\\4\\4\\1\\0},\vektor{2\\1\\3\\1\\4\\0\\1}>, [/mm]

die spitzen Klammern stehen für die lineare Hülle/Erzeugnis/span.

So, eigentlich aber wolltest Du den Durchschnitt von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] wissen, und daß die Lösungsmenge nicht der gesuchte Durchschnitt ist, sieht man ja schon daran, daß sie eine Teilmenge des [mm] F_5^7 [/mm] ist und nicht des [mm] F_5^5. [/mm]

Du hattest zuvor festgestellt, daß im Schnitt die Vektoren x liegen, für welche

$ [mm] x=a\vektor{3 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \\ 1}+b\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 2}+c\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1}+d\vektor{3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \\ 1}=e\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+f\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}+g\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2} [/mm] $

gilt, und nun hast Du ausgerechnet, daß dies der Fall ist, sofern Du
a=2t
b=t
c=3t
d=4s+t

wählst,
bzw.

e=4s+4t
f=s
g=t.

Wenn Du das einsetzt, siehst Du, wie die Vektoren des Schnittes aussehen und kannst eine Basis angeben.

> warum hast du t und s gewählt statt f und g?

Ich hätte genauso alles in Abhängigkeit von g und f schreiben können und keine neuen Parameter einführen müssen.

>  kann ich daraus folgern das die dim [mm](U_{1} \cap U_{2})=[/mm] 2
> ist?

Ja.
Und eine Basis solltest Du nun mit den Hinweisen bestimmen können.

LG Angela

>  
> gruß
>  fab


Bezug
                                
Bezug
Basis vom Durchschnitt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Di 10.01.2012
Autor: fab42

Dann kann man also die Elemente x [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm]
durch:
[mm] x=(4s+t)\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+s\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}+t\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2} [/mm]
darstellen.

Jetzt wähle ich s=1 sowie t=0:
[mm] 4\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}=\vektor{3 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \\ 2}+\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 2} [/mm]

wähle nun s=0 und t=1:
[mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2}=\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \\ 0} [/mm]

Dann ist die gesuchte Basis [mm] B=<\vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 2},\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \\ 0}> [/mm]

Hab ich das so richtig gemacht?
vielen Dank für deine Mühe!

gruß

Bezug
                                        
Bezug
Basis vom Durchschnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Di 10.01.2012
Autor: angela.h.b.


> Dann kann man also die Elemente x [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm]
>  
> durch:
>  [mm]x=(4s+t)\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+s\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}+t\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>  
> darstellen.
>  
> Jetzt wähle ich s=1 sowie t=0:
>  [mm]4\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}=\vektor{3 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \\ 2}+\vektor{4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 2}[/mm]
>  
> wähle nun s=0 und t=1:
>  [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ 4 \\ 1 \\ 3}+\vektor{1 \\ 4 \\ 3 \\ 1 \\ 2}=\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>  
> Dann ist die gesuchte Basis [mm]B=<\vektor{2 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 2},\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \\ 0}>[/mm]

Hallo,

ja, so kannst Du es machen.

LG Angela

>  
> Hab ich das so richtig gemacht?
>  vielen Dank für deine Mühe!
>  
> gruß


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