Basis von Bild und Kern von A < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme jeweils eine Basis fur den Kern und das Bild der folgenden Matrix A mit
Eintragen in Q:
A= [mm] \pmat{ 1 & 5 & 0 & 2 &2 \\ 2 & 10 & 0 & 4 & 4 \\ 3 & 16 & 0 & 6 & 7 } [/mm] |
Meine Lösung:
Kern(A)= { x [mm] \in R^n [/mm] | Ax=0 }
LGS aufstellen:
Ax=0
zwei Variablen sind frei wählbar, ich setze [mm] x_{5} [/mm] =t und [mm] x_{4}=s
[/mm]
umformen ergibt dann:
Kern(A)= [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}= [/mm] s* [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ n} [/mm] + t* [mm] \vektor{78 \\ -16 \\ k} [/mm] , n,k [mm] \in \IQ, [/mm] weil die dritte Spalte von A 0 ist, ist die Zahl an dieser Stelle doch egal, oder?
Also habe ich als Basis(Kern(A))={ [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ n}; \vektor{78 \\ -16 \\ k} [/mm] }
Dann das Bild:
Bild(A)={ Ax | x [mm] \in R^n [/mm] }
Das habe ich nach Anleitung gemacht:
Ich bilde [mm] A^T [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 16 \\ 0 & 0 & 0 \\2 & 4 & 6 \\ 2 & 4 & 7 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 16 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 7 }
[/mm]
Ich bilde davon wieder [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 16 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 7 }^T= \pmat{ 1 & 5 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 10 & 0 & 0 & 4 \\ 3 & 16 & 0 & 0 & 7 }
[/mm]
Und bekomme die Basis(Bild(A))={ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}; \vektor{5 \\ 10 \\ 16}; \vektor{2 \\ 4 \\ 7} [/mm] }
Richtig so?
Mir ist aber nicht genau klar, warum das bei dem Bild so gemacht wird, kann man mir das erklären bitte?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Big_Head78,
> Bestimme jeweils eine Basis fur den Kern und das Bild der
> folgenden Matrix A mit
> Eintragen in Q:
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 5 & 0 & 2 &2 \\ 2 & 10 & 0 & 4 & 4 \\ 3 & 16 & 0 & 6 & 7 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Meine Lösung:
>
> Kern(A)= { x [mm]\in R^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Ax=0 }
>
> LGS aufstellen:
>
> Ax=0
>
> zwei Variablen sind frei wählbar, ich setze [mm]x_{5}[/mm] =t und
> [mm]x_{4}=s[/mm]
> umformen ergibt dann:
>
> Kern(A)= [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}=[/mm] s* [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ n}[/mm]
> + t* [mm]\vektor{78 \\ -16 \\ k}[/mm] , n,k [mm]\in \IQ,[/mm] weil die dritte
> Spalte von A 0 ist, ist die Zahl an dieser Stelle doch
> egal, oder?
Ja, setze hier z.B. [mm]x_{3}=u, \ u \in \IR[/mm]
Der Kern(A) besteht doch aus Vektoren des [mm]\IR^{5}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Also habe ich als Basis(Kern(A))={ [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ n}; \vektor{78 \\ -16 \\ k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
>
> Dann das Bild:
>
> Bild(A)={ Ax | x [mm]\in R^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Das habe ich nach Anleitung gemacht:
>
> Ich bilde [mm]A^T[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 16 \\ 0 & 0 & 0 \\2 & 4 & 6 \\ 2 & 4 & 7 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 16 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 7 }[/mm]
>
> Ich bilde davon wieder [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 16 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 7 }^T= \pmat{ 1 & 5 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 10 & 0 & 0 & 4 \\ 3 & 16 & 0 & 0 & 7 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Und bekomme die Basis(Bild(A))={ [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}; \vektor{5 \\ 10 \\ 16}; \vektor{2 \\ 4 \\ 7}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
Diese Basis ist linear abhängig.
>
> Richtig so?
> Mir ist aber nicht genau klar, warum das bei dem Bild so
> gemacht wird, kann man mir das erklären bitte?
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruss
MathePower
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Das mit dem Kern habe ich also richtig gemacht? Bin mir noch etwas unsicher...mein Vorgehen an sich ist hier aber für mich logisch.
Bei der Basis zum Bild, habe ich das wohl noch nicht richtig verstanden, könnte man mir das noch einmal etwas genauer erklären?
Das Bild ergibt sich doch als Linearkombination der einzelen Spalten von A:
[mm] r_{1}* \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] r_{2}* \vektor{5 \\ 10 \\ 16} [/mm] + [mm] r_{3}* \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] r_{4}* \vektor{2 \\ 4 \\ 6} [/mm] + [mm] r_{5}* \vektor{2 \\ 4 \\ 7}
[/mm]
und hier suche ich doch jetzt eine Basis zu, oder?
Warum ergibt der Weg über [mm] A^T [/mm] denn jetzt eine Basis?
Über etwas Hilfe würde ich mich freuen.
Ich habe noch einmal nachgedacht, über [mm] A^T [/mm] bekomme ich doch die linear abhängigen Spalten raus, so dass dann beim Rücktransponieren nur noch lin. unabh. Spalten übrig bleiben, und diese bilden dann eine Basis des Bildes.
Richtig verstanden?
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Hallo Big_Head78,
> Das mit dem Kern habe ich also richtig gemacht? Bin mir
Die Lösungsmenge hast Du nicht richtig angeben.
Nun, der Kern besteht aus 3 Vektoren des [mm]\IR^{5}[/mm]:
[mm]\operatorname{Kern}\left(A\right)=\left\{ x \in \IR^{5} \left|\right x=s*\pmat{... \\ ... \\ 1 \\ 0 \\ 0}+t*\pmat{... \\ ... \\ 0 \\ 1 \\ 0}+u*\pmat{... \\ ... \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \ s,t,u \in \IR \right\} [/mm]
bzw.
[mm]\operatorname{Kern}\left(A\right)=< \pmat{... \\ ... \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \ \pmat{... \\ ... \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \ \pmat{... \\ ... \\ 0 \\ 0 \\ 1}>[/mm]
> noch etwas unsicher...mein Vorgehen an sich ist hier aber
> für mich logisch.
Dein Vorgehen ist auch richtig.
> Bei der Basis zum Bild, habe ich das wohl noch nicht
> richtig verstanden, könnte man mir das noch einmal etwas
> genauer erklären?
> Das Bild ergibt sich doch als Linearkombination der
> einzelen Spalten von A:
>
> [mm]r_{1}* \vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]r_{2}* \vektor{5 \\ 10 \\ 16}[/mm]
> + [mm]r_{3}* \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]r_{4}* \vektor{2 \\ 4 \\ 6}[/mm]
> + [mm]r_{5}* \vektor{2 \\ 4 \\ 7}[/mm]
>
> und hier suche ich doch jetzt eine Basis zu, oder?
Ja.
> Warum ergibt der Weg über [mm]A^T[/mm] denn jetzt eine Basis?
Normalerweise führst Du auf der Matrix A Spaltenoperationen durch,
um eine Basis des Bildes zu finden. Die Spalten von A stellen mögliche
Basisvektoren dar. Durch das Transponieren von A sind auf dieser Matrix
eben nur Zeilenoperationen durchzuführen. Das Transponieren macht man
nur, um den Gauß-Algorithmus durchführen zu können.
> Über etwas Hilfe würde ich mich freuen.
>
>
> Ich habe noch einmal nachgedacht, über [mm]A^T[/mm] bekomme ich
> doch die linear abhängigen Spalten raus, so dass dann beim
> Rücktransponieren nur noch lin. unabh. Spalten übrig
> bleiben, und diese bilden dann eine Basis des Bildes.
> Richtig verstanden?
Ja.
Gruss
MathePower
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So ich glaube ich habs:
Basis(Kern(A))={ [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}; \vektor{3 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}; \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] }
Basis(Bild(A))= { [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0}; \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] }
ok?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Big_Head78,
> So ich glaube ich habs:
>
> Basis(Kern(A))={ [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}; \vektor{3 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}; \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
>
> Basis(Bild(A))= { [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0}; \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> ok?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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