Basis von Fix(F) < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei der Endomorphismus F gegeben durch
b) F: [mm] \IR[/mm] [t] [mm] \to \IR[/mm] [t], P [mm] \mapsto [/mm] P'
c) F: [mm] C^{\infty}(\IR, \IR) \to C^{\infty}(\IR, \IR), [/mm] f [mm] \mapsto [/mm] f'
Bestimme jeweils eine Basis von Fix(F) |
Hallo zusammen
Ich verstehe unter der Aufgabe das folgende (hoffe es ist richtig...)
Also: Ein Punkt x heistt Fixpunkt, falls die Gleichung f(x)=x erfüllt ist.
Zu b)
[mm] p(x)=a_0+a_1*t+....a_n*t^n
[/mm]
[mm] p'(x)=a_1+.....+n*a_n*t^{n-1}
[/mm]
Habe das jetzt erstmal für n=2 angeschaut:
[mm] p(x)=a_0+a_1*t+a_2*t^2
[/mm]
[mm] p'(x)=a_1+2*a_2*t
[/mm]
Nun muss ja gelten: p(x)=p'(x) in Fix(F)
Also: [mm] a_0+a_1*t+a_2*t^2=a_1+2*a_2*t
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_0=a_1=a_2=0
[/mm]
Irgendwie glaube ich nicht, dass das richtig ist...
Dann wäre ja die Basis (0,0,0).
Kann mir jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Do 06.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
doch, das stimmt.
Du hast gerade bewiesen (na ja, fast jedenfalls), dass der Fixraum in b) der Nullraum ist. Seine Basis ist allerdings die leere Menge, weil der Nullvektor (dessen Koordinatendarstellung du angibst, eigentlich : das Nullpolynom [mm] p_o [/mm] mit [mm] p_o(x)=0 [/mm] für alle x) linear abhängig ist.
Gruß Sax.
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Hallo Sax
Ok. Danke vielmals.
Und wie sieht mit c aus? Wie muss ich dort vorgehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Do 06.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
bei c) gibst es vier Möglichkeiten :
erstens : du kennst die Lösung, dann schreib sie hin.
zweitens : du kennst sie nicht, aber kannst sie erraten, dann schreib sie hin.
drittens : du kannst sie nicht mal erraten, dann mach einen Potenzreihenansatz für f : [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n [/mm] und verfahre genauso, wie du im Fall n=2 vorgegangen bist. Du kannst die [mm] a_n [/mm] dadurch bestimmen und erhälst eine Folge, die du wahrscheinlich kennst und somit einen geläufigen Ausdruck für f(x).
viertens : wenn das alles nichts wird, frag noch mal nach, dann verrat ich's dir.
Gruß Sax
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> Hi,
>
> bei c) gibst es vier Möglichkeiten :
>
> erstens : du kennst die Lösung, dann schreib sie hin.
Nein, das tu ich leider nicht!
> zweitens : du kennst sie nicht, aber kannst sie erraten,
> dann schreib sie hin.
Wie sollte ich die erraten können?
> drittens : du kannst sie nicht mal erraten, dann mach
> einen Potenzreihenansatz für f :
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n[/mm] und verfahre genauso,
> wie du im Fall n=2 vorgegangen bist. Du kannst die [mm]a_n[/mm]
> dadurch bestimmen und erhälst eine Folge, die du
> wahrscheinlich kennst und somit einen geläufigen Ausdruck
> für f(x).
Wie kommst du auf [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n [/mm]
> viertens : wenn das alles nichts wird, frag noch mal nach,
> dann verrat ich's dir.
Vielen Dank für deine Hilfe!!
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Hiho,
> Wie kommst du auf [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n[/mm]
Erfahrung 
Aber machen wir es vorher mal anders. Formulieren wir die Suche nach dem Fixpunkt noch mal in Worten: Du suchst eine Funktion, deren Ableitung wieder die Funktion selbst ist. Welche Funktionen kennst du denn, die abgeleitet wieder sich selbst ergeben??
Gruß,
Gono.
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Hallo,
ja [mm] e^x! [/mm] Dann ist das die Basis?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Do 06.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja genau ! (Zweite Möglichkeit hat also funktioniert)
Dass es keine dazu linear unabhängigen weiteren Funktionen gibt, die ebenfalls die Eigenschaft $ f'=f $ haben, wird in einer Analysis-Vorlesung über "Lineare Differentialgleichungen Erster Ordnung" bewiesen. Funktionen der Form [mm] f(x)=c*e^x [/mm] sind die einzigen, die passen. [mm] \{e^x\} [/mm] ist also die (genauer: eine mögliche) gesuchte Basis.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Fr 07.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ja [mm]e^x![/mm] Dann ist das die Basis?
Ja, das wurde von Sax ja schon bestätigt. Auch ohne eine Vorlesung über Differentialglichungen kann man das so sehen:
Ist f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft $f'=f$ auf [mm] \IR, [/mm] so setze
[mm] g(x)=\bruch{f(x)}{e^x}.
[/mm]
zeige: $g'=0$ auf [mm] \IR. [/mm] Damit ist g auf [mm] \IR [/mm] konstant.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:34 Fr 07.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> bei c) gibst es vier Möglichkeiten :
>
> erstens : du kennst die Lösung, dann schreib sie hin.
> zweitens : du kennst sie nicht, aber kannst sie erraten,
> dann schreib sie hin.
> drittens : du kannst sie nicht mal erraten, dann mach
> einen Potenzreihenansatz für f :
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n[/mm]
Ich gebe zu bedenken: es gibt genügend Funktionen, die auf [mm] \IR [/mm] beliebig oft differenzierbar sind, sich aber nicht in eine Potenzreihe entwickeln lassen !
FRED
> und verfahre genauso,
> wie du im Fall n=2 vorgegangen bist. Du kannst die [mm]a_n[/mm]
> dadurch bestimmen und erhälst eine Folge, die du
> wahrscheinlich kennst und somit einen geläufigen Ausdruck
> für f(x).
> viertens : wenn das alles nichts wird, frag noch mal nach,
> dann verrat ich's dir.
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> Gruß Sax
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