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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:01 Do 30.11.2006 | | Autor: | kampfsocke |
| Aufgabe | a) Sei K eine Körper. Finde eine K-Basis von {A [mm] \in M_{n}(k) [/mm] | [mm] A^{T}=A}
[/mm]
b) Finde eine [mm] \IR [/mm] Basis von {A [mm] \in M_{2}(\IC) [/mm] | Tr(A)=0} |
Hallo allerseits,
Die Aufgabe ist ja eigentlich nicht so schwer, aber das richtige Ergebnis bekomme ich trotzdem nicht sicher hin.
zu a)
Wenn in der Diagonalen nur 1er stehen, sonst Nullen, ist die die Transponierte Matrix stets gleich der unsprünglichen.
Also würde ich eine Basis aus n [mm] \times [/mm] n Matrizen bilden. Die erste hätte eine 1 im ersten Glied der Spur, die zweite dann im zweiten und so weiter.
ABER: Es gibt ja auch symatrische Matrizen, also wo außerhalb der Diagonalen etwas ungleich Null steht.
Wie schreibe ich das auf? Wie muss die Basis aussuehen, das ich durch Addition jede beliebige andere symetrische Matrik erhalte?
zu b)
Heißt eine [mm] \IR-Basis, [/mm] dass die Elemente der Basis aus [mm] \IR [/mm] sein sollen? Aber wenn die Elemente der Matrix aus [mm] \IC [/mm] sind, geht das doch gar nicht.
Eine Basis könnte doch so aussehen:
[mm] \pmat{ z & 0 \\ 0 & -z }, \pmat{ 0 & b \\ a & 0 } [/mm] wobei z,a,b [mm] \in \IC [/mm] sind.Surch Additon der beiden Matrizen (jeweils Multipliziert mit einem jeweiligen r [mm] \in \IR [/mm] kann ich doch jede Matrix mit Spur 0 herstellen oder?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Viele Grüße,
Sara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Do 30.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> ABER: Es gibt ja auch symatrische Matrizen, also wo
> außerhalb der Diagonalen etwas ungleich Null steht.
>
> Wie schreibe ich das auf? Wie muss die Basis aussuehen, das
> ich durch Addition jede beliebige andere symetrische Matrik
> erhalte?
Die überlegung ist goldrichtig !
ich zeige am besten mal ein symmetrisches Beispiel:
[mm] $\pmat{a&b\\b&c}=a*\pmat{1&0\\0&0}+b*\pmat{0&1\\1&0}+c*\pmat{0&0\\0&1}$
[/mm]
kannst du dies nun verallgemeinern?
(wie groß ist die dimension des raumes der n-dimensionalen symmetrischen matrizen?!?)
für die b) hab ich später evtl. nochmal zeit, aber solange bleibt die frage hier ja offen^^
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:26 Do 30.11.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo,
ich habe mal versucht die Lösung auf die Dimension n zu erweitern, bin aber gescheiter. Wenn ich eine [mm] n\timesn [/mm] Matrix habe, sollte die Basis die Dimension n haben, also n linear unabhängige Matrizen.
Doch schon allein um die "Einser" auf der Diagonale darzustellen braucht ich n Matrizen. Dann müssen noch die Symetrischen Elemente beachtet werden.
Dafür gucke ich wir erst mal die erste Zeile an. Das erste Element ist schon abgedeckt (ist ja in der Diagonalen). Dann bleiben noch (n-1) Matrizen, wo in der ersten Zeile eine 1 steht. (Entsprechend natürlich auch in der an der Diagonalen gespiegelten Stelle)
Für die Zweite Zeile muss man entsprechend (n-2) Stellen abdecken, also n-2 Matrizen ausstellen und so weiter.
Damit wäre ich dann bei echt vielen Matrizen. Wo ist mein Denkfehler?
Zur b), ich glaube da habe ich eine plausible Lösunge gefunden:
[mm] r_{1}*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }, r_{2}*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] und [mm] r_{3}*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] wobei [mm] r_{1,2,3} \in \IC
[/mm]
So sind die Koeffizienten aus [mm] \IR, [/mm] aber sie bilden trotzdem Matrizen in [mm] \IC [/mm] .
Kann das richtig sein?
Auf jedenfall vielen Dank für deine Antwort. Vielleicht kannst du mir bei der a) noch einen Tipp geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Do 30.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
anscheinend kommst du mit den Dimension von Matrizen und den zugehören Einträgen durcheinander: eine n-dimensionale (quadratische) Matrix ist eine nxn Matrix und hat daher [mm] n^2 [/mm] viele Einträge und so groß wäre dann auch eine Basis für den Raum dieser.
symmetrische Matrizen sind eindeutig über ihre obere Dreiecksmatrix (inklusive Diagonale) definiert, denn die Infos in der unteren Hälfte sind gleich der in der oberen Hälfte.
Wie groß muss also der Raum der symmetrischen nxn Matrizen sein?
für die Matrix [mm] $\pmat{a&b&c\\b&d&e\\c&e&f}$ [/mm] kann man mit 6 Basis-Matrizen darstellen, erkennst du nun, wie es geht?
viele Grüße
DaMenge
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Im Prinzip muss ich das Verfahren was ich vorhin schon angefangen habe nur weiter führen. Aber ich betracht nicht zuerst die Diagonale und dann den Rest, sondern gleich alles:
Die erste Zeile liefert mit n Matrizen. Die zweite dann n-1 und so weiter bis zur letzten, die mir n-(n-1)=1 Eintrag liefert.
Also habe ich für die Matrizenanzahl:
n+(n-1)+(n-2)+...+(n-(n-2))+(n-(n-1) -->nun n zusammenfassen
= n*n* - (1+2+3+..+(n-1))
= n² - [mm] \bruch{n(n-1)}{2} [/mm] - n
Aber das kann doch nicht das richtige Ergebnis sein..?
Nach dem Abschicken ist nur noch was kleines eingefallen:
= [mm] \bruch{n²-n}{2}
[/mm]
kann das vielleicht doch stimmen?
Viele Grüße, Sara
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Do 30.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Im Prinzip muss ich das Verfahren was ich vorhin schon
> angefangen habe nur weiter führen. Aber ich betracht nicht
> zuerst die Diagonale und dann den Rest, sondern gleich
> alles:
> Die erste Zeile liefert mit n Matrizen. Die zweite dann
> n-1 und so weiter bis zur letzten, die mir n-(n-1)=1
> Eintrag liefert.
>
> Also habe ich für die Matrizenanzahl:
>
> n+(n-1)+(n-2)+...+(n-(n-2))+(n-(n-1) -->nun n
> zusammenfassen
bis hierhin ist alles richtig, aber jetzt kannst du ruhig die ![[]](/images/popup.gif) Gaußsche_Summenformel verwenden (im Link steht auch ein Beweis)
also ist die Dimension des Raumes [mm] $\bruch{n*(n+1)}{2}$, [/mm] aber ich denke, die entsprechende Basis kannst du auch angeben..
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:16 Do 30.11.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo nochmal, ich hänge immernoch.
> >
> > n+(n-1)+(n-2)+...+(n-(n-2))+(n-(n-1) -->nun n
Wenn ich das zusammenfasse, steht doch n² - (1+2+3+4+...+(n-1) da. Bei der Gausschen Summformel geht es aber bis n, also muss ich am Ende noch n abziehen, und es steht da:
n² - [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] -n
und das wieder zusammengefasst (da hatten ich vorhin einen Fehler)
= [mm] \bruch{n²-n}{2}
[/mm]
Wenn ich die Dimension weiß, kann ich auch die Basis aufschreiben (mit vielen Worten, und kleinen Skizzen).
Vielen Dank für eine Hilfe!
Viele Grüße,
Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Do 30.11.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Also, das ich nur die Zahlen von 1 bis n aufaddieren muss ist mir klar.
Wo in meiner Rechnung der Fehler ist, weiß ich nicht, aber meine Frage ist eigentlich beantwortet.
Viele Dank für deine Mühe!
Einen schönen Abend noch,
Sara
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