Basis von Schnitt und Summe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Di 12.12.2006 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | Aufgabe 25.
Im R5 betrachte man die Unterräume
U = Lin {(1, 1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0, 0)} und
W = Lin {(1, 1, 0, 0, 1), (3, 2, 0, 0, 2), (0, 1, 1, 1, 1)}.
Geben Sie eine Basis von U +W und von U [mm] \cap [/mm] W an. |
Huhu!
Ich habe nun schon herausgefunden, daß die drei Vektoren (2,1,0,0,1) aus U und (1,1,0,0,1) und (3,2,0,0,2) aus W sich als Linearkombination voneinander schreiben lassen? (Also können nicht alle drei in der Summe von U und W liegen) Liegen diese drei dann im Schnitt und bilden die Schnittmenge?
Dann hätte ich laut Formel
dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U [mm] \cap [/mm] W) für U+W eine Dimension von 3+3-3=3.
Liegen dann die restlichen drei in der Summe?
Gruß
Iris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Di 12.12.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Iris!
> Im R5 betrachte man die Unterräume
> U = Lin {(1, 1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0,
> 0)} und
> W = Lin {(1, 1, 0, 0, 1), (3, 2, 0, 0, 2), (0, 1, 1, 1,
> 1)}.
> Geben Sie eine Basis von U +W und von U [mm]\cap[/mm] W an.
> Ich habe nun schon herausgefunden, daß die drei Vektoren
> (2,1,0,0,1) aus U und (1,1,0,0,1) und (3,2,0,0,2) aus W
> sich als Linearkombination voneinander schreiben lassen?
> (Also können nicht alle drei in der Summe von U und W
> liegen) Liegen diese drei dann im Schnitt und bilden die
> Schnittmenge?
> Dann hätte ich laut Formel
> dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U [mm]\cap[/mm] W) für U+W eine
> Dimension von 3+3-3=3.
Die 3 Vektoren von U sind lin. unabh., bilden also eine Basis x, y und z. Also ist dimU = 3. Der 1. Vektor u von W ist gleich x-z, also überflüssig. Der 2. Vektor v ist gleich x+y-z, also ebenfalls überflüssig. u und v sind aber lin. unabh. und liegen natürlich - wie eben gezeigt - im Schnitt. Der 3. Vektor w ist von x, y und z lin. unabh., also hat U+W eine Basis aus x, y, z und w. Die Dim.-formel ist dann
4 = 3 + 3 - 2, u und v bilden also eine Basis des Schnitts.
Jetzt noch alles hübsch nachrechnen bitte.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
> Liegen dann die restlichen drei in der Summe?
>
> Gruß
> Iris
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