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| Aufgabe | Es sei K einer der Körper [mm] \IQ,\IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] und U und W die folgenden Teilmengen des [mm] K^n [/mm] über K:
[mm] U=\{\vektor{x_{1}\\...\\x_{n}} \in K^n | x_{1} + ... + x_{n}=0\} [/mm] und
[mm] W=\{\vektor{x_{1}\\...\\x_{n}} \in K^n | x_{1} - ... + (-1)^{n-1} x_{n}=0\}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass U und W beides Teilräume sind
b) Bestimmen Sie [mm] dim_{K}U,dim_{K}W,dim_{K}(U \cap [/mm] W) und [mm] dim_{K} [/mm] (U+W)
c) Gilt [mm] K^n=U \oplus [/mm] W |
Hallo!
Also a) hab ich,denk ich, geschafft, indem ich Wohldefiniertheit und Abgeschlossenheit gezeigt hab.
Nur,wie finde ich eine Basis, sodass ich die Dimension bestimmen kann? Ich kann mir die Gleichung aufschreiben,aber damit komm ich nicht weit.
Die restlichen Fragen lass ich mal beiseiten;vielleicht ergibt sich das durch die Beantwortung der Basis-Frage...
Danke im Voraus,
Rebell der Sonne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:51 Do 18.12.2008 | | Autor: | Docy |
Hi,
keine Ahnung, ob es dir weiterhilft, aber ich glaube, dass dim(U)=n-1 ist, weil man ja theoretisch die Komponenten [mm] x_1,..., x_{n-1} [/mm] frei wählen kann und [mm] x_n=-\summe_{i=1}^{n-1}x_i [/mm] entsprechend bestimmt ist. Ist aber nur ein Gedanke.
Gruß Docy
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> Es sei K einer der Körper [mm]\IQ,\IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm] und U und W die
> folgenden Teilmengen des [mm]K^n[/mm] über K:
> [mm]U=\{\vektor{x_{1}\\...\\x_{n}} \in K^n | x_{1} + ... + x_{n}=0\}[/mm]
> und
> [mm]W=\{\vektor{x_{1}\\...\\x_{n}} \in K^n | x_{1} - ... + (-1)^{n-1} x_{n}=0\}.[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass U und W beides Teilräume sind
> b) Bestimmen Sie [mm]dim_{K}U,dim_{K}W,dim_{K}(U \cap[/mm] W) und
> [mm]dim_{K}[/mm] (U+W)
> c) Gilt [mm]K^n=U \oplus[/mm] W
> Hallo!
>
> Also a) hab ich,denk ich, geschafft, indem ich
> Wohldefiniertheit und Abgeschlossenheit gezeigt hab.
>
> Nur,wie finde ich eine Basis, sodass ich die Dimension
> bestimmen kann? Ich kann mir die Gleichung
> aufschreiben,aber damit komm ich nicht weit.
Hallo,
das ist aber der korrekte Anfang.
Danach mußt Du dann die Lösungsmenge der Gleichung bestimmen, Docy hat Dir ja schon gesagt, wie das geht bei a), und bei b) geht es genauso.
Ich mache das mal an einem kleinen Beispiel or:
[mm] x_1+x_2+x_3=0
[/mm]
Hier sind 2 Variabblen frei wählbar, etwa die letzten beiden.
Dann bekommt man
[mm] x_3=s
[/mm]
[mm] x_2=t
[/mm]
[mm] x_1=-t-s.
[/mm]
Also haben die Lösungen die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] = [mm] \vektor{-t-s\\t\\s} =s*\vektor{-1\\0\\1} [/mm] + [mm] t*\vektor{-1\\1\\0},
[/mm]
und damit ist [mm] (\vektor{-1\\0\\1}, \vektor{-1\\1\\0}) [/mm] eine Basis des Lösungsraumes.
Gruß v. Angela
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Okay,wenn ich das richtig verstanden habe, ist die [mm] dim_{\IR} [/mm] U = n-1 , weil ich alle x bis auf eines durch Skalare [mm] \alpha [/mm] ersetzen kann und mir dann das eine als [mm] \summe_{i=2}^{n}-\alpha_{i} [/mm] ausdrücken kann.
Für den Teilraum W gilt dann auch [mm] dim_{\IR} [/mm] W = n-1 , weil ich wieder alle Skalare ersetzen kann und dann mir für den letzten [mm] \summe_{i=2}^{n}(-1)^n \alpha_{i} [/mm] herauskommt.
Stimmt das soweit?
Dann brauch ich nur noch die Dimension von U+W und ich habe das Beispiel fast gelöst. Ohne zu rechnen ist jetzt mal mein Vorschlag auch n-1, da ich jeden zweiten Vektor der Basis von U mit -1 multiplizieren kann, um auf Vektoren aus V zu kommen.
Dann wäre [mm] dim_{\IR} [/mm] (U [mm] \cap [/mm] W)= n - 1 ,da [mm] dim_{\IR} [/mm] U + [mm] dim_{\IR} [/mm] W = [mm] dim_{\IR} [/mm] (U [mm] \cap [/mm] W) + [mm] dim_{\IR} [/mm] (U+W)
Somit müsste, um den Gedanken jetzt weiter zu spinnen, die Frage c) falsch sein, weil der Schnitt der beiden eine Dimension hat und deshalb nicht die innere Summe berechnet werden kann/darf.
Jetzt bin ich gespannt, wie richtig das ist =)
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> Okay,wenn ich das richtig verstanden habe, ist die
> [mm]dim_{\IR}[/mm] U = n-1 , weil ich alle x bis auf eines durch
> Skalare [mm]\alpha[/mm] ersetzen kann und mir dann das eine als
> [mm]\summe_{i=2}^{n}-\alpha_{i}[/mm] ausdrücken kann.
>
> Für den Teilraum W gilt dann auch [mm]dim_{\IR}[/mm] W = n-1 , weil
> ich wieder alle Skalare ersetzen kann und dann mir für den
> letzten [mm]\summe_{i=2}^{n}(-1)^n \alpha_{i}[/mm] herauskommt.
>
> Stimmt das soweit?
Hallo,
"durch Skalare ersetzen" ist komisch ausgedrückt.
"Parameter einsetzen" würde wohl passen.
Auf jeden Fall meinst Du das Richtige.
>
> Dann brauch ich nur noch die Dimension von U+W und ich habe
> das Beispiel fast gelöst.
Ja.
> Ohne zu rechnen ist jetzt mal
> mein Vorschlag auch n-1, da ich jeden zweiten Vektor der
> Basis von U mit -1 multiplizieren kann, um auf Vektoren aus
> V zu kommen.
Das überzeugt mich nicht. Es bleiben dann ja noch genügend andere Vektoren übrig. Mach doch erstmal n=3.
> Dann wäre [mm]dim_{\IR}[/mm] (U [mm]\cap[/mm] W)= n - 1 ,da [mm]dim_{\IR}[/mm] U +
> [mm]dim_{\IR}[/mm] W = [mm]dim_{\IR}[/mm] (U [mm]\cap[/mm] W) + [mm]dim_{\IR}[/mm] (U+W)
Falls (!) wirklich dim (U+W)=n-1 ist, ist das richtig.
Gruß v Angela
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Okay, ich habe also jetzt für n=3
U:
[mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}} [/mm] = [mm] s*\vektor{-1\\0\\1} [/mm] + t [mm] *\vektor{-1\\1\\0}
[/mm]
und W:
[mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}} [/mm] = [mm] s*\vektor{-1\\0\\1} [/mm] + t [mm] *\vektor{1\\1\\0}
[/mm]
Das ist natürlich was anderes...
Da wäre die dim (U+W) = 3
Das heißt,dass die dim (U+W) = n ist?
(Ich hab das mal für n=4 schnell gerechnet, wäre dim = 5 - heißt das,dass die dim = 2n - 3 ist?)
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> Okay, ich habe also jetzt für n=3
> U:
> [mm]\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}[/mm] = [mm]s*\vektor{-1\\0\\1}[/mm] + t
> [mm]*\vektor{-1\\1\\0}[/mm]
> und W:
> [mm]\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}[/mm] = [mm]s*\vektor{-1\\0\\1}[/mm] + t
> [mm]*\vektor{1\\1\\0}[/mm]
> Das ist natürlich was anderes...
> Da wäre die dim (U+W) = 3
> Das heißt,dass die dim (U+W) = n ist?
Hallo,
den starken Verdacht hätte ich.
Du mußt es natürlich beweisen.
> (Ich hab das mal für n=4 schnell gerechnet, wäre dim = 5 -
> heißt das,dass die dim = 2n - 3 ist?)
Hier weiß ich nicht, worüber Du redest.
Gruß v. Angela
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Hmm,ich hab jetzt doch was anderes herausbekommen... furchtbar!! =)
Also bei n=5 hätt ich nämlich für dim (U+W) = 6 herausbekommen. Ist das überhaupt möglich, dass die Dimension von U+W größer ist als die Dimension vom Vektorraum, von dem U und W Teilräume sind?
n=5:
[mm] U:\vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}} [/mm] mit [mm] x_{1}+...x_{n}=0.
[/mm]
Also kann ich alle Parameter durch [mm] \alpha_{i} [/mm] ausdrücken und hab dann [mm] x_{1}=-\summe_{i=1}^{4}\alpha_{i}
[/mm]
und
W: Hätt ich dann für [mm] x_{1}=-\summe_{i=2}^{1}\alpha_{2i-1} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{2}\alpha_{2i}
[/mm]
Da sind dann in U+W zwei Vektoren gleich, alle anderen lassen sich nicht durch andere erzeugen. U+W:
[mm] U+W=[\vektor{-1\\1\\0\\0\\0},\vektor{-1\\0\\1\\0\\0},\vektor{-1\\0\\0\\1\\0},\vektor{-1\\0\\0\\0\\1},\vektor{1\\1\\0\\0\\0},\vektor{-1\\0\\1\\0\\0},\vektor{1\\0\\1\\0\\0},\vektor{-1\\0\\0\\0\\0}]
[/mm]
Da hab ich ja dann als Basis 6 Vektoren, oder? also dim = 6.
So hab ich den allgemeinen Fall berechnet und bekomme als Dimension von U+W folgendes heraus:
dim [mm] (U+W)=\bruch{3}{2} [/mm] (n-1) für ungerade n und das ganze plus 1 für gerade n...
Irgendwie kommt mir das komisch vor...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Do 18.12.2008 | | Autor: | Docy |
Du hast hier
[mm] U+W=[\vektor{-1\\1\\0\\0\\0},\vektor{-1\\0\\1\\0\\0},\vektor{-1\\0\\0\\1\\0},\vektor{-1\\0\\0\\0\\1},\vektor{1\\1\\0\\0\\0},\vektor{-1\\0\\1\\0\\0},\vektor{1\\0\\1\\0\\0},\vektor{-1\\0\\0\\0\\0}]
[/mm]
2 gleiche Vektoren, nämlich
[mm] \vektor{-1\\0\\1\\0\\0}. [/mm] Wenn dein Vektor nur 5 Komponenten hat, dann kannst du keine 6 Basisvektoren haben.
Gruß Docy
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> Hmm,ich hab jetzt doch was anderes herausbekommen...
> furchtbar!! =)
>
> Also bei n=5 hätt ich nämlich für dim (U+W) = 6
> herausbekommen. Ist das überhaupt möglich, dass die
> Dimension von U+W größer ist als die Dimension vom
> Vektorraum, von dem U und W Teilräume sind?
Hallo,
ganz sicher nicht, und Du solltest über die Gründe nachdenken.
>
> n=5:
> [mm]U:\vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}}[/mm] mit [mm]x_{1}+...x_{n}=0.[/mm]
> Also kann ich alle Parameter durch [mm]\alpha_{i}[/mm] ausdrücken
> und hab dann [mm]x_{1}=-\summe_{i=1}^{4}\alpha_{i}[/mm]
> und
> W: Hätt ich dann für [mm]x_{1}=-\summe_{i=2}^{1}\alpha_{2i-1}[/mm]
> + [mm]\summe_{i=1}^{2}\alpha_{2i}[/mm]
>
> Da sind dann in U+W zwei Vektoren gleich, alle anderen
> lassen sich nicht durch andere erzeugen. U+W:
>
> [mm]U+W=[\vektor{-1\\1\\0\\0\\0},\vektor{-1\\0\\1\\0\\0},\vektor{-1\\0\\0\\1\\0},\vektor{-1\\0\\0\\0\\1},\vektor{1\\1\\0\\0\\0},\vektor{-1\\0\\1\\0\\0},\vektor{1\\0\\1\\0\\0},\vektor{-1\\0\\0\\0\\0}][/mm]
>
> Da hab ich ja dann als Basis 6 Vektoren, oder? also dim =
> 6.
Das findest Du heraus, indem Du den Rang der Matrix bestimmst, in welche Du die Vektoren stellst.
Die offensichtlich doppelten kannst Du ja gleich weglassen.
> So hab ich den allgemeinen Fall berechnet und bekomme als
> Dimension von U+W folgendes heraus:
> dim [mm](U+W)=\bruch{3}{2}[/mm] (n-1) für ungerade n und das ganze
> plus 1 für gerade n...
>
> Irgendwie kommt mir das komisch vor...
Schon allein die Tatsache, daß Du für n=8 die Dimension 23/2 hättest, läßt Zweifel aufkommen.
Gruß v. Angela
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Rang einer Matrix??? Da sind wir erst dabei...Wie macht man das ^^
Wenn ich die gleichen weg lasse, hab ich nur mehr 6 Vektoren.. Aber wie komm ich da jez auf die Basis?
Ich komm mir grade sehr nicht-wissend vor =(
Wie gesagt, ich war sehr der Meinung,dass es falsch ist, dass die dim höher is,als die vom Vektorraum
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> Wenn ich die gleichen weg lasse, hab ich nur mehr 6
> Vektoren..
Jetzt schaust Du, ob sie linear unabhängig sind.
Wenn nicht, kommen sie als Basis nicht infrage,.
Du hast dann die Aufgabe, eine maximale linear unabhängige Teilmenge aus diesen 6 Vektoren abzufischen.
Vier linear unabhängige kennst Du ja schon, ergänze durch den 5. Vektor, prüfe die Unabhängigkeit.
Wenn ja: Basis gefunden!
(Möglicherweise mußt Du die Begriffe Basis, Erzeugendensystem, lineare Hülle für Dich noch genauer klären.)
Gruß v. Angela
Aber wie komm ich da jez auf die Basis?
>
> Ich komm mir grade sehr nicht-wissend vor =(
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> Wie gesagt, ich war sehr der Meinung,dass es falsch ist,
> dass die dim höher is,als die vom Vektorraum
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Danke.
Ich hab das Beispiel heute in der Übung an der Tafel gerechnet...und irgendwie wurde mir alles klar(er).
Danke für die Hilfe!
Rebell der Sonne
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