Basis zeigen, Abbildungsmatrix < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Gleichung $ [mm] x_{2}=0 [/mm] $ beschreibt eine Ebene im $ [mm] \IR^3. [/mm] $ Die lineare Abbildung A im $ [mm] \IR^3 [/mm] $ bildet jeden Vektor x= $ [mm] (x_{1},x_{2},x_{3})^T \in \IR [/mm] $ in seine Projektion auf diese Ebene ab.
a) Geben Sie die Abbildungsmatrix in der natürlichen Basis an.
b) Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren für die Abbildung
c) Zeigen Sie, dass die Eigenvektoren eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden. Welche Abbildungsmatrix hat die Abbildung A in dieser Basis? |
Hallo,
a)$ [mm] A(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})= \vektor{x_1\\0\\x_3} [/mm] $
Die Abbildungsmatrix ist A= $ [mm] \pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \\ 0&0&1} [/mm] $
b) Die Eigenwerte sind [mm] \lambda_{1,2}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{3}=0 [/mm] und die Eigenvektoren sind: [mm] u=\vektor{1 \\ 0\\0}, v=\vektor{0 \\ 1\\0}, w=\vektor{0 \\ 0\\1}
[/mm]
c) Hier ist jetzt mein Problem. Um zu zeigen, dass die 3 Vektoren eine Basis bilden, sollen wir zeigen, dass sie LUA sind und ein Erzeugendensystem bilden. Das sie LUA habe ich gezeigt, aber wie zeige ich das Erzeugendensystem?
Und die Abbildungsmatrix ist doch die gleiche wie in Aufgabe a) oder?
Gruß
Meli
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> Die Gleichung [mm]x_{2}=0[/mm] beschreibt eine Ebene im [mm]\IR^3.[/mm] Die
> lineare Abbildung A im [mm]\IR^3[/mm] bildet jeden Vektor x=
> [mm](x_{1},x_{2},x_{3})^T \in \IR[/mm] in seine Projektion auf diese
> Ebene ab.
> a) Geben Sie die Abbildungsmatrix in der natürlichen Basis
> an.
> b) Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren für die
> Abbildung
> c) Zeigen Sie, dass die Eigenvektoren eine Basis des [mm]\IR^3[/mm]
> bilden. Welche Abbildungsmatrix hat die Abbildung A in
> dieser Basis?
> Hallo,
>
> a)[mm] A(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})= \vektor{x_1\\0\\x_3}[/mm]
> Die Abbildungsmatrix ist A= [mm]\pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \\ 0&0&1}[/mm]
>
> b) Die Eigenwerte sind [mm]\lambda_{1,2}=1[/mm] und [mm]\lambda_{3}=0[/mm]
> und die Eigenvektoren sind: [mm]u=\vektor{1 \\ 0\\0}, v=\vektor{0 \\ 1\\0}, w=\vektor{0 \\ 0\\1}[/mm]
>
> c) Hier ist jetzt mein Problem. Um zu zeigen, dass die 3
> Vektoren eine Basis bilden, sollen wir zeigen, dass sie LUA
> sind und ein Erzeugendensystem bilden. Das sie LUA habe ich
> gezeigt, aber wie zeige ich das Erzeugendensystem?
Hallo,
hier ist doch eigentlich nichts zu zeigen, denn die drei vektoren sind doch gerade die Standardbasis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Ber wenn's denn unbedingt sein soll mit dem EZS: sei [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in \IR^3. [/mm] Es ist [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=x_1*\vektor{1 \\ 0\\0}+x_22\vektor{0 \\ 1\\0}+x_3\vektor{0 \\ 0\\1}.
[/mm]
Damit hast Du's dann.
> Und die Abbildungsmatrix ist doch die gleiche wie in
> Aufgabe a) oder?
Ja.
Allerdings werde ich etwas skeptisch:
Ich war oben stillschweigend davon ausgegangen, daß mit Projektion eine orthogonale Projektion gemeint ist.
Könnte es sein, daß dies nicht der Fall ist? War eine Projektionsrichtung angegeben? (Wie habt Ihr in der Vorlesung Projektion definiert?)
Gruß v. Angela
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Nein, es war keine Projektionsrichtung angegeben. Ich habe die Aufgabe so wie sie auf dem Zettel ist abgetippt!
Gruß
Meli
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> Nein, es war keine Projektionsrichtung angegeben. Ich habe
> die Aufgabe so wie sie auf dem Zettel ist abgetippt!
Hallo,
wie habt Ihr Projektion definiert?
Aus welcher Vorlesung (für wen) stammt die Aufgabe?
Gruß v. Angela
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