Basis zu Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 So 11.09.2011 | | Autor: | Equinox |
| Aufgabe | T: V -> W, V, W Vektorraum, T bijektiv
1. ) {b1, ... , bn} ist Basis von V, {T(b1), ..., T(bn)} ist Basis von W!
Für eine injektive aber nicht zwingend surjektive Abbildung, für welche gilt V = W = [mm] IR^n, [/mm] gilt ebenfalls 1.) |
Ich würde sagen damit das überhaupt gelten kann muss die Abbildung bijektiv sein, aber ist sie das nicht sowieso bei einer Abbildung zwischen zwei gleichen Vektrorräumen?
Sonst müsste man wohl zeigen das aus Injektivität Surjektivität folgt und somit Bijektivität gegeben ist, oder?
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Hallo Equinox,
schöner Nick!
> T: V -> W, V, W Vektorraum, T bijektiv
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> 1. ) {b1, ... , bn} ist Basis von V, {T(b1), ..., T(bn)}
> ist Basis von W!
>
> Für eine injektive aber nicht zwingend surjektive
> Abbildung, für welche gilt V = W = [mm]IR^n,[/mm] gilt ebenfalls 1.)
> Ich würde sagen damit das überhaupt gelten kann muss die
> Abbildung bijektiv sein, aber ist sie das nicht sowieso bei
> einer Abbildung zwischen zwei gleichen Vektrorräumen?
Ich nehme an, es geht hier ausschließlich um lineare Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen.
Sind bei einer solchen Abbildung beide beteiligten Räume identisch, so handelt es sich um einen IsomorphismusEndomorphismus. In diesem Fall folgt aus Injektivität tatsächlich schon Bijektivität.
>
> Sonst müsste man wohl zeigen das aus Injektivität
> Surjektivität folgt und somit Bijektivität gegeben ist, oder?
Richtig. Dazu kannst du zum Beispiel Dimensionsformeln verwenden.
Erinnerung: Ist eine lineare Abbildung f injektiv, dann gilt [mm] Ker(f)=\{0\}.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 So 11.09.2011 | | Autor: | Equinox |
Hehe danke dafür ;)
Das mit dem Kern ist mir bewusst, es ging mir mehr darum die Bijektivität herzuleiten, werde das wohl mit dem Dimensionssatz machen, gebs sonst noch was anderes um dies zu zeigen?
Noch eine Frage, warum ist es eigentlich kein Endomorphismus?
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> Hehe danke dafür ;)
>
> Das mit dem Kern ist mir bewusst, es ging mir mehr darum
> die Bijektivität herzuleiten, werde das wohl mit dem
> Dimensionssatz machen, gebs sonst noch was anderes um dies
> zu zeigen?
Ich glaube am einfachsten ist es zu zeigen:
Angenommen T ist nicht surjektiv.
Dann folgt, dass T nicht injektiv ist.
> Noch eine Frage, warum ist es eigentlich kein
> Endomorphismus?
Endomorphismus ist eine Abbildung eines Vektorraums in sich selbst.
Also im zweiten Fall, wo V=W ist, hast du einen Endomorphismus, ja.
MfG
Schadowmaster
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 So 11.09.2011 | | Autor: | Equinox |
Ok mich wunderte dann die erste Aussage:
"Sind bei einer solchen Abbildung beide beteiligten Räume identisch, so handelt es sich um einen Isomorphismus. In diesem Fall folgt aus Injektivität tatsächlich schon Bijektivität."
Das würde ja dann nicht gelten!
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> Ok mich wunderte dann die erste Aussage:
>
> "Sind bei einer solchen Abbildung beide beteiligten Räume
> identisch, so handelt es sich um einen Isomorphismus. In
> diesem Fall folgt aus Injektivität tatsächlich schon
> Bijektivität."
>
> Das würde ja dann nicht gelten!
Da hast du Recht, Endomorphismus wollte ich schreiben.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 So 11.09.2011 | | Autor: | Equinox |
Könnte mir nochmal jemand bei dem Gegenbeweis einen kleinen Tipp geben?
ich weiß das gelten muss [mm]T(x)=y[/mm] weiter gilt da es ein Endomorphismus ist [mm]T(x)=T(y)[/mm] die Annahme wäre also das es folgendes gibt wenn es nicht surjektiv wäre [mm]T(x)\not=T(y)[/mm]
Was mir dazu nur einfällt wäre [mm]x,y =0[/mm] Annahme [mm] T(x)\not=T(y)\Rightarrow T(0)\not=T(0) \Rightarrow 0\not=0[/mm]
Was natürlich ein Widerspruch wäre
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öhm, was?
Ich versteh nicht so ganz was du da schönes zu erzählen versuchst...
Zum Gegenbeweis:
Nehmen wir an $y [mm] \not= [/mm] 0$ wird von der Abbildung nicht getroffen.
Dann wird auch jedes Vielfache von y (außer der 0) nicht getroffen, da T linear ist.
Man kann also den Wertebereich auf den (n-1)-dimensionalen Teilraum ohne die Vielfachen von y verkleinern.
Nun stellt sich nur noch die Frage, ob es eine injektive Abbildung aus einem n-dimensionalen Vektorraum in einen (n-1)-dimensionalen geben kann...
Ja, das klingt vielleicht etwas kompliziert, aber ich will ja nicht alles verraten; wenn du ein wenig rumprobierst ist es gar nicht so schwer. ;)
MfG
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Mo 12.09.2011 | | Autor: | Equinox |
Nein kann es nicht da die Dimension des Kerns + die Dimension des Bildes ja die Dimension des Raumes ergeben müssen, also
Dimensionen:
Kern = 0 (da injektiv)
Bild = n
Abbildung = n
Also 0+n = n (passt)
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> Nein kann es nicht da die Dimension des Kerns + die
> Dimension des Bildes ja die Dimension des Raumes ergeben
> müssen, also
>
> Dimensionen:
> Kern = 0 (da injektiv)
> Bild = n
> Abbildung = n
>
> Also 0+n = n (passt)
genau ;)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:13 Mo 12.09.2011 | | Autor: | Equinox |
Gut dann hab ich das, wie würde vollständigkeitshalber ein Beweis durch Umformung aussehen? Mein Prof mag sowas ^^
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Hallo,
vielleicht formulierst Du mal für potentielle Helfer, die nicht als Detektiv arbeiten möchten, genau, welche Aussage Du durch Umformung zeigen möchtest.
Im Idealfall lieferst Du gleich einen Lösungsversuch dazu und erklärst, wo es Probleme gibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mo 12.09.2011 | | Autor: | Equinox |
Entschuldigung, ich dachte bezogen auf meinen Versuch das ganze im 4 Thread zu zeigen wäre klar worauf ich hinaus möchte.
Es ging mir eigentlich darum durch umformen zu zeigen das es ein[mm] T(x)\not=y[/mm] gibt und es somit auch keine Injektivität geben kann weil keine Surjektivität herrscht.
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> Entschuldigung, ich dachte bezogen auf meinen Versuch das
> ganze im 4 Thread zu zeigen wäre klar worauf ich hinaus
> möchte.
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> Es ging mir eigentlich darum durch umformen zu zeigen das
> es ein[mm] T(x)\not=y[/mm] gibt und es somit auch keine
> Injektivität geben kann weil keine Surjektivität
> herrscht.
>
Hallo,
man soll zeigen:
Sei
T: [mm] \IR^n\to \IR^n, [/mm] V, T injektiv.
Dann gilt:
[mm] {b_1, ... , b_n} [/mm] ist Basis des [mm] \IR^n [/mm] ==> [mm] {T(b_1), ..., T(b_n)} [/mm] ist Basis des [mm] \IR^n
[/mm]
Davon, daß T nicht surjektiv ist, ist in der Aufgabenstellung überhaupt nicht die Rede.
Vorausgesetzt ist, daß T injektiv ist.
Wenn Du zeigen willst, daß [mm] (T(b_1),...,T(b_n)) [/mm] eine Basis ist, so mußt Du die lineare Unabhängigkeit der [mm] T(b_i) [/mm] vorrechnen.
Was mußt Du dafür zeigen?
Versuch's mal zu tun!
EDIT:
Auf diesem Weg kommst Du direkt zum Ziel,
und Du hast damit doch gerade gezeigt, daß T surjektiv ist!
Ich habe jetzt gesehen, daß Dein Plan anders ist.
Du möchtest zuerst zeigen, daß T in dem Fall auch surjektiv ist, damit Du einfach die bereits beweisene Aussage für bijektives T verwenden kannst.
Innerhalb Deines angestrebeten Widerspruchsbeweises wirst Du aber gerade zeigen müssen , daß Basen auf Basen abgebildet werden.
Also so: angenommen T nicht surjektiv. Dann gibt es ein y so, daß [mm] y\not=T(x) [/mm] für alle x.
Die Basis [mm] (b_1, [/mm] ..., [mm] b_n) [/mm] wird auf die Basis [mm] (T(b_1), [/mm] ..., [mm] T(b_n) [/mm] ) abgebildet. (Zeigen.)
Also ist y= [mm] a_1T(b_1)+...+a_nT(b_n) [/mm] .
Nun weiter.
Du siehst sicher, daß dieses Tun nicht so praktisch ist.
Gruß v. Angela
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