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Hallo zusammen,
mir geht es in diesem Beitrag um einen möglichst eleganten und dennoch richtigen Beweis des Basisergänzungssatzes, und der Aussage: V' Unterraum von V [mm] \Rightarrow [/mm] A(V') ist Unterraum von W (A:V [mm] \to [/mm] W linear, V,W Vektorräume).
Zum Basisergänzungssatz:
Allgemein hab ich eine Menge Formulierungen davon gesehen. Mir geht es um: Jedes linear unabhängige Vektorsystem [mm] {a_1,...a_k} [/mm] in V lässt sich zu einer Basis in V ergänzen.
Einen Beweis über Induktion nach r (Anzahl der zu ergänzenden Vektoren) hab ich schon, aber ich denke das geht viel einfacher. Ich möchte ja nicht mit Kanonen auf Tontauben schießen. Ich habe mir folgendes überlegt:
Sei [mm] \{a_1,...a_k\} [/mm] linear unabhängiges Vektorsystem (dim=k, k<n=dimV). [mm]B=\{w_1,...,w_n\}[/mm] sei Basis in V. Nach Austauschsatz existieren Vektoren [mm] \{w'_1,...w'_{n-k}\} \subset [/mm] B (unter Umständen nach Umnummerierung) so dass [mm]B\backslash\{w_1,...w_{k}\}\cup\{a_1,...a_k\}[/mm] Basis in V, d.h. das System [mm] \{w'_1,...,w'_{n-k},a_1,...,a_k\} [/mm] Basis in V.
Das Verfaren soll jeweils Vektoren aus B einzeln zu [mm] \{a_1,...a_k\} [/mm] hinzunehmen, und prüfen, ob dass dabei entstandene System linear abhängig geworden ist, oder nicht und solange fortfahren, bis n unabhängige Vektoren die neue Basis bilden. Geht das so?
Zur anderen Aussage:
V Vektorraum. Betrachte [mm] B=\{w_1,...,w_n\} [/mm] Basis in V, [mm] B'=\{w'_1,...,w'_k\} \subset [/mm] B Basis in V':
[mm] A(V')\underbrace{=}_{Lineare Huelle}A(Lin(B'))=Lin(A(B')). [/mm] Damit ist A(B') Basis in [mm] W'\subset W=Lin(\{A(w_1),...,A(w_n)\}) [/mm] (da A linear).
Geht das so, oder ist das zu wenig?
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Mo 09.02.2009 | | Autor: | MichaFCC |
hallo, wäre auch interessiert an diesem beweis, da ich ebenfalls bald prüfung schreibe (insofern wäre es nett, wenn jemand diesen beweis auf richtigkeit bzw vollständigkeit prüft...)
meines erachtens nach haben wir den austauschsatz in der vorlesung so bewiesen, wie du es machen möchtest (haben es nur für einen vektor gezeigt und dann gesagt, dass es durch iteration (und nicht induktion) auch für mehrere geht)
den zweiten teil finde ich logisch, außer das ein kleiner schreibfehler drinne is (bei der linearen hülle, wo du die linearität der abbildung ausnutzt, fehlt bei dem B ein strich, ist aber trotzdem verständlich)...
ist aber wie gesagt "nur" die meinung eines erstsemestlers, würde mich freuen wenn sich noch ein paar profis zu wort melden würden 
lg micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Mo 09.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit ich sehe hast du deine kanone nur wo anders hingerichtet, jetzt braucht man ja den Austauschsatz, und wie zeigst du den.?
Gruss leduart
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Den Austauschsatz dürfen wir als vorausgesetzt sehen. Diese Aussage haben wir als Folgerung des Austauschsatzes formuliert.
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 11.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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