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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:47 Mi 28.07.2004 | | Autor: | kay |
Hallo, ich habe eine Frage zu einer Basistransformation, leider habe ich die Erklärungen die ich dazu gefunden habe nicht verstanden. :-(
Folgende Situation:
Es ist eine Matrix in der üblichen Basis e1, e2, e3 gegeben und diese Matrix soll ich in der Orthonormalbasis b1, b2, b3 darstellen.
Wie gehe ich da vor?
Lautet das Ergebnis:
X = (b1 b2 [mm] b3)^t [/mm] * A
oder
X = (b1 b2 [mm] b3)^t [/mm] * A * (b1 b2 b3)
Ich hoffe ihr versteht was ich meine und könnt mir weiterhelfen.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Hallo Kay!
Die Antwort auf Deine Frage ist: das hängt davon ab, was von der Matrix A dargestellt wird.
Matrizen sind dafür da, Informationen über komplexe Objekte (meistens Abbildungen) übersichtlich aufzuschreiben. Das Standardbeispiel sind lineare Abbildungen. Das Problem: gegeben ist eine lineare Abbildung $f: [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] $. Wie kann man auf übersichtliche Weise beschreiben, was diese Abbildung genau tut?
Die erste Überlegung: wenn man eine Basis des [mm] $\IR^n$ [/mm] gegeben hat (z.B. [mm] $e_1, \ldots [/mm] , [mm] e_n$), [/mm] dann reicht es zu wissen, was die Abbildung mit den Basisvektoren macht, aufgrund der Linearität. Für einen beliebigen Vektor $v [mm] \in \IR^n$ [/mm] gibt es ja Skalare [mm] $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \IR$, [/mm] so dass
$ v = [mm] \limits\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i$
[/mm]
Und daraus folgt:
$ f(v) = f [mm] (\limits\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i) [/mm] = [mm] \limits\sum_{i=1}^n \lambda_i f(e_i)$
[/mm]
Wenn man also die [mm] $f(e_i)$ [/mm] kennt, dann weiß man, was $f$ mit jedem Vektor tut.
Und jetzt kommt der Trick: diese [mm] $f(e_i)$ [/mm] haben ja als Elemente des [mm] $\IR^n$ [/mm] wieder eine Darstellung in der gleichen Basis! Und diese Koeffizienten schreibt man in die Matrix, so dass die Spalten der Matrix den Bildern der Basisvektoren entsprechen.
So muß man sich die darstellende Matrix einer linearen Abbildung vorstellen: sie sagt uns, auf welche Weise die Basis des Quellraumes in der Basis des Zielraumes (in unserem Fall beides Mal [mm] $\IR^n$) [/mm] ausgedrückt werden kann.
Die nächste Frage, die man sich stellt... inwieweit hängt das von der eingangs gewählten Basis ab? Leider sehr. Aber zum Glück kommt nun wieder die Theorie ins Spiel. Wenn man eine zweite Basis gegeben hat, kann man sich die sogenannte "Matrix des Basiswechsels" anschauen, das ist genau diejenige Matrix, die man erhält, wenn man eine Abbildung baut, die Basis 1 auf Basis 2 abbildet (ist dann automatisch ein Isomorphismus, weil eine Basis auf eine Basis geht) und die alte Matrix damit "konjugiert". Das ist nur ein hochtrabender Ausdruck für die Formel:
$ [mm] B:=P^{-1}AP$
[/mm]
Dabei ist $A$ die alte Matrix, $B$ die neue und $P$ ist die Matrix des Basiswechsels. Allerdings gilt dies nur, wenn $A$ die Matrix einer linearen Abbildung ist!
Ist $A$ nämlich die Matrix einer Bilinearform, geht die Regel etwas anders. Dann erhält man die neue Matrix folgendermaßen:
$B = P^tAP$
Zu guter Letzt: und wie bestimmt man jetzt das $P$? Naja, es soll eine Matrix des Basiswechsels sein, also muß man die neue Basis durch die alte ausdrücken und die Koeffizienten in die Spalten schreiben. Ist die "alte" Basia aber wie in Deinem Beispiel [mm] $e_1, e_2, e_3$, [/mm] dann sind die neuen Vektoren [mm] $b_1,b_2,b_3$ [/mm] schon in der richtigen Basis ausgedrückt und die Matrix $P$ ist dann schlicht
$P = [mm] (b_1, b_2, b_3)$
[/mm]
Und zu guter Letzt noch die gute Nachricht: da die neue Basis eine Orthonormalbasis ist, ist auch die Matrix $P$ orthogonal, also folgt für diesen Fall [mm] $P^t [/mm] = [mm] P^{-1}$. [/mm] Und dies entfernt nicht nur den obigen Unterschied, sondern erleichtert auch das Invertieren von $P$ enorm... denn das ist im Allgemeinen schwerer, als das Transponieren.
Also, langer Rede kurzer Sinn, das zweite ist korrekt und ich hoffe meine weitschweifenden Ausführungen haben ein wenig zum Verständnis der ganzen Maschinerie dahinter beigetragen.
Schönen Tag noch!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mi 28.07.2004 | | Autor: | kay |
Hallo Lars,
vielen Dank für deine schnell Antwort, jetzt ist mir die ganze Sache etwas klarer geworden. 
Ich habe noch eine kleine Verständnisfrage zu der Basistransformation:
Gegeben sagen wir mal ist eine Matrix A im e1, e2, e3 die eine Drehung ausführt. Ich drehe nun mit Hilfe dieser Matrix die orthonormalen Basisvektoren b1, b2, b3.
Diese sind ja dann im e1, e2, e3 nach der Drehung dargestellt, oder?
Wenn ich diese nun im b1, b2, b3 wieder darstellen soll, kann ich das doch nach folgender "Formel" für jeden Vektor machen:
(<x,b1>)
(<x,b2>)
(<x,b3>)b1,b2,b3
x steht hierbei für das Ergebnis der Drehung des entsprechnenden Vektors.
Wenn ich nun wieder die Matrix A im b1, b2, b3 darstellen soll, sind das nicht einfach diese Vektoren die ich dort berechnet habe im b1, b2, b3 oder muss ich dann noch etwas umrechnen?
Wenn ich diese Matrix A direkt mit der Formel berechne (X = [mm] B^t [/mm] * A * B) bekomme ich ein leicht anderes Ergebnis raus, ein Vektor ist unterschiedlich. :-/
EDIT: Ich habe meinen Fehler gefunden und jetzt kommt tatsächlich die Matrix im b1, b2, b3 raus wenn ich diese mit diesen Vektoren schreibe. :)
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