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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Sa 05.08.2006 | | Autor: | Paddi |
| Aufgabe | Folgende Aufgabenstellung ist gegeben:
Basis: b1 =1 /wurzel(2) * (1 1 0)
b2 = 1 /wurzel(2) * (-1 1 0)
b3 = (0 0 1)
außerdem: Vector x = (-1 1 0)
weiter:
stellen Sie den Vector x in der Basis b1b2b3 dar.
a) Arbeiten Sie mit dem Scalarprodukt
b) Lösen Sie ein passendes lineares Gleichungssystem mit dem Gaußalgorithmus
c) Verwenden Sie eine geeignete Basistransformationsmatrix. |
Hallo.
ich komme mit der Fragestellung nicht ganz zurecht.
Bei Aufgabe a) ist klar was gemeint ist. Da habe ich den Vector (2 4 2) heraus.
Bei Aufgabe c) habe ich eine Transformationsmatrix gewäht, nämlich die transponierte Form dieser Orthonormalbasis. Da kommt das gleiche heraus. Also sollte dies ebenfalls OK sein.
Bei Aufgabe b) allerdings ist mir nicht ganz klar was gemeint ist. Mit dem Gaußalgorithmus kann ich so weit es mir klar ist keine Transformation in eine andere Basis vornehmen. Dieser Algorithmus dient doch soweit ich bescheid weis dazu einen Vector (x1 x2 x3) auszurechnen, wenn der Funktionswert vorliegt.
Also z.B.: [mm] (b1b2b3)^t [/mm] * (x1 x2 x3) = (2 4 2) ( dies ist ja der Ergebnisvektor in der neuen Basis)
Wenn dieses System mit Gauß aufgelöst wird erhalte man folglich dann diesen Vektor.
Ist es also vielleicht so gemeint, dass man sich ein Gleichungssystem so aufbauen und dieses mit Hilfe von Gauß berechnen soll. Man könnte dafür ja z.B. die obige Gleichung nutzen. Dann käme man als Ergebnis wieder auf den Vektor (-1 3 2)
Ich hoffe ihr habt mich verstanden.
Für Hilfe bin ich wie immer dankbar.
Gruß
Paddi
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Ich denke, du hast das schon richtig verstanden.
a) Skalarprodukt des Vektors mit jeder der drei Basisvektoren ausrechnen, das sind die Projektionen auf die neuen Basisvektoren bzw die Komponenten des neuen Vektors
b) Hier nimmst du NICHT die transponierte Matrix, sondern die mit den Basisvek. als Spalten. Diese Matrix transformiert also von der neuen Basis in die Standardbasis. Da die Darstellung in der Standardbasis bekannt ist, und die in der neuen noch nicht, gibt dir das ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten, das sich z.B. mit Gauß berechnen läßt.
c) Hier wird die Umkehrabbildung aus b) benutzt, das ist nunmal die transponierte Matrix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Fr 11.08.2006 | | Autor: | Paddi |
Hallo,
Danke schon mal für die fixe Antwort.
Ich versteh das mit b) noch nicht so ganz.
Könntest du mir vielleicht mal bei dem Gleichungssystem etwas helfen?
Ich hab mir jetzt folgende Gleichung gebaut.
(b1b2b3) *(x1x2x3) = (-1 1 0)(Das war der Vector in der Standartbasis)
Die muss aber falsch sein, weil ich da nicht auf die Ergebnisse aus a) und b) komme.
Da habe mit Gauß (0 1 0) heraus.
Ich glaube da mußt du mir vielleicht noch mal auf die Sprünge helfen.
Für ein wenig Hilfe bin dir sehr dankbar.
Liebe Grüße
Paddi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Sa 12.08.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
kann es sein, dass du in der Matrix jeweils den Faktor [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] vergessen hast ?
also der Vektor [mm] b_2 [/mm] ist ja ein skalares Vielfache vom gesuchten Vektor, deshalb sieht man ja eigentlich schon die Lösung:
Also du suchst ja die Koeffizienten [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_3, [/mm] so dass:
[mm] $x_1 [/mm] * [mm] \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}}\\\bruch{1}{\wurzel{2}}\\0}+x_2 [/mm] * [mm] \vektor{-\bruch{1}{\wurzel{2}}\\\bruch{1}{\wurzel{2}}\\0}+x_3 [/mm] * [mm] \vektor{0\\0\\1}=\vektor{-1\\1\\0}$
[/mm]
bzw als Matrix-Gleichung:
[mm] $\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}}&-\bruch{1}{\wurzel{2}}&0\\\bruch{1}{\wurzel{2}}&\bruch{1}{\wurzel{2}}&0\\0&0&1}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-1\\1\\0}$
[/mm]
da muss auch mit Gauß die offensichtliche Lösung : [mm] $\vektor{0\\\wurzel{2}\\0}$ [/mm] rauskommen.
(sieht man schon an der Gleichung ganz oben)
bei c) ist der Weg mit der  Transformationsmatrix gesucht, aber man sieht schon aus der Matrix-Gleichung, dass:
[mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}}&-\bruch{1}{\wurzel{2}}&0\\\bruch{1}{\wurzel{2}}&\bruch{1}{\wurzel{2}}&0\\0&0&1}^{-1} [/mm] * [mm] \vektor{-1\\1\\0}$ [/mm] , wobei [mm] $T=\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}}&-\bruch{1}{\wurzel{2}}&0\\\bruch{1}{\wurzel{2}}&\bruch{1}{\wurzel{2}}&0\\0&0&1}^{-1}$ [/mm] die TrafoMatrix ist !
man sieht hier also ganz gut den Zusammenhang zwischen TrafoMatrix und Lösen des entspr. Gleichungssystems.
viele Grüße
DaMenge
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