Basisvektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mi 14.11.2012 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe | 1. Zeige:
[mm] v_{i}:= e_{i} [/mm] - [mm] e_{i+1} [/mm] (kanonische Basisvektoren) bildet eine Basis von M:= {x= [mm] \vektor{x_{1}\\ .\\.\\.\\x_{n}} \in \IR^{n} [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] + ... + [mm] x_{n} [/mm] = 0}.
2. K ist ein Körper und n [mm] \in \IN, n\ge3. [/mm] Wie muss die Charakteristik des Körpers K und wie muss n festgelegt sein, damit [mm] v_{i} [/mm] := [mm] e_{i} [/mm] + [mm] e_{i+1} (1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n-1) und [mm] v_{n} [/mm] := [mm] e_{1} [/mm] + [mm] e_{n} [/mm] eine Basis von K bildet? |
Hallo,
bei Aufgabe 1 habe ich schon gezeigt dass alle Vektoren linear unabhängig sind anhand des Gaußalgorithmus. Nun liefert mir jenes aber eine Matrix, welche nur n-1 Zeilen hat, weil bei mir eine Nullzeile entsteht.
Da ich weiß, dass ein Erzeugendensystem normalerweise die gleiche Dimension haben muss wie der erzeugte Raum, bin ich etwas verwirrt und weiß nicht wie ich trotzdem zeigen soll, dass es ein Erzeugendensystem ist.
Bei Aufgabe 2 habe ich leider keine Ahnung. Denn mit Hilfe von Gauß komme ich wieder auf eine Einheitsmatrix mit n Spalten, sodass diese eigtl jeden [mm] K^{n} [/mm] erzeugen müsste.
Ich wäre über Hilfe sehr dankbar.
Greetz,
petapahn
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Mi 14.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
M hat doch eine einschränkug durch [mm] |x_1-...+x_n|=0
[/mm]
dannkann M nicht n dimensional sein.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mi 14.11.2012 | | Autor: | petapahn |
M ist ja ein Untervektorraum von [mm] R^{n}. [/mm] Aber warum kann der dann nicht auch n-dimensional sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Do 15.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn es nicht [mm] R^n [/mm] selbst ist also ein echter UVR kanner nicht dim n sein.
nimm [mm] R^2 [/mm] und x1+x2=1
welche Vektoren bleiben?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Do 15.11.2012 | | Autor: | petapahn |
Ok danke das hab ich verstanden. Aber dann würde mein Argument nicht ausreichen, um zu beweisen, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem darstellen. Denn ich habe ja durch den Gauß- Algorithmus lediglich bewiesen, dass sie einen n-1 dimensionalen Raum darstellen. Wie soll ich nun beim Beweis vorgehen?
Ich weiß nur, dass jeder Vektor des Unterraums sich durch eine Linearkombination der Basisvektoren bilden lässt.
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Denn ich habe ja
> durch den Gauß- Algorithmus lediglich bewiesen, dass sie
> einen n-1 dimensionalen Raum darstellen.
Hallo,
v_1,..., v_{n-1}\in M sind also linear unabhängig.
Die Elemente von M haben die Gestalt $ \vektor{x_{1}\\ .\\.\\x_{n-1}\\-(x_{1}+...+x_{n-1)} $ .
Zeig nun noch, daß (v_1,..., v_{n-1}) M erzeugt, indem Du vormachst, wie man den Vektor $ \vektor{x_{1}\\ .\\.\\x_{n-1}\\-(x_{1}+...+x_{n-1)} $ als Linearkombination der v_i schreiben kann.
Dann hast Du bewiesen, daß Du ein linear unabhängiges Erzeugendensystem hast, also eine Basis.
LG Angela
> Wie soll ich nun
> beim Beweis vorgehen?
> Ich weiß nur, dass jeder Vektor des Unterraums sich durch
> eine Linearkombination der Basisvektoren bilden lässt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Do 15.11.2012 | | Autor: | petapahn |
Super danke! Hab jetzt die 1. Aufgabe :)
Hat jemand irgendeine Idee für die zweite Aufgabe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Super danke! Hab jetzt die 1. Aufgabe :)
> Hat jemand irgendeine Idee für die zweite Aufgabe?
Überlege Dir unter welchen Vor. an n und an die Char. von K aus
[mm] t_1v_1+t_2v_2+...+t_nv_n=0 [/mm]
[mm] (t_1,...,t_n \in [/mm] K),
zwingend folgt, dass [mm] t_j=0 [/mm] ist für j=1,...,n.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Do 15.11.2012 | | Autor: | petapahn |
Ist die Bedingung für n, dass n ungerade sein muss? (wg. Gauß- Umformung damit die Zeilenstufenform noch n Zeilen beibehält?)
Für die Charakteristik fällt mir trotz deines Tipps nichts ein. :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Bedingung für n, dass n ungerade sein muss? (wg.
> Gauß- Umformung damit die Zeilenstufenform noch n Zeilen
> beibehält?)
> Für die Charakteristik fällt mir trotz deines Tipps
> nichts ein. :(
Setze in
$ [mm] t_1v_1+t_2v_2+...+t_nv_n=0 [/mm] $
mal die Def. der [mm] v_i [/mm] ein.
Wenn es sein muß, so untersuche mal die Fälle n=2, n=3 und n=4.
Dann bekommst Du sicher eine Vermutung.
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Do 15.11.2012 | | Autor: | petapahn |
Wenn ich die Definition von [mm] v_{i} [/mm] einsetze, dann steht zB für n=3 da:
[mm] e_{1} \cdot{} (t_{1} [/mm] + [mm] t_{3}) [/mm] + [mm] e_{2} \cdot{} (t_{1}+t_{2}) [/mm] + [mm] e_{3} \cdot{} (t_{2} [/mm] + [mm] t_{3})
[/mm]
Das heißt [mm] t_{1} [/mm] = [mm] t_{2} [/mm] = [mm] t_{3}= [/mm] 0
bei 4 analog.
und was hat das jetz mit der charakteristik zu tun?
Hat meine Vermutung für die Bedingung von n gestimmt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo petapahn,
> Wenn ich die Definition von [mm]v_{i}[/mm] einsetze, dann steht zB
> für n=3 da:
> [mm]e_{1} \cdot{} (t_{1}[/mm] + [mm]t_{3})[/mm] + [mm]e_{2} \cdot{} (t_{1}+t_{2})[/mm]
> + [mm]e_{3} \cdot{} (t_{2}[/mm] + [mm]t_{3})[/mm]
=0 meinst du offensichtlich. Bis auf die Reihenfolge stimmt es.
> Das heißt [mm]t_{1}[/mm] = [mm]t_{2}[/mm] = [mm]t_{3}=[/mm] 0
Warum? Wegen der linearen Unabhängigkeit von [mm] $e_1,e_2,e_3$ [/mm] sehe ich erst mal nur
[mm] $t_1+t_3=0$
[/mm]
[mm] $t_1+t_2=0$
[/mm]
[mm] $t_2+t_3=0$.
[/mm]
Wann und in diesen Fällen warum folgt dann [mm] $t_1=t_2=t_3=0$?
[/mm]
> bei 4 analog.
Nein, bei 4 wird diese Überlegung falsch.
> und was hat das jetz mit der charakteristik zu tun?
Das solltest du sehen, wenn du die fehlende Begründung versuchst.
> Hat meine Vermutung für die Bedingung von n gestimmt?
Ja.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Do 15.11.2012 | | Autor: | petapahn |
achso jetz glaub ich hab ichs.
n muss ungerade sein und K muss eine ungerade Anzahl an Elementen enthalten und somit ist die Charakteristik gerade. Da ein Körper Primzahlen oder 0 als Charakteristik hat, muss die Charakteristik dieses Körpers entweder 0 oder 2 sein.
Stimmt das so jetzt?
Danke für die Hilfe schon mal im Voraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> n muss ungerade sein
Ja.
> und K muss eine ungerade Anzahl an
> Elementen enthalten
K muss nicht endlich sein.
> und somit ist die Charakteristik
> gerade.
(Ungerade.)
Präsentiere uns doch deinen Lösungsweg und nicht nur dein Endergebnis. Mich macht etwas stutzig, dass du mit der Gesamtzahl der Elemente von K argumentierst. Da weiß ich nicht, wie du darauf kommst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Do 15.11.2012 | | Autor: | petapahn |
ok schade ;)
zu meinem "Lösungsweg" der Charakteristik:
Ich hab also n ungerade herausgefunden (durch Gauß).
Ich hab gerade meinen Fehler gemerkt. (der Lösungsweg ist wirklich total falsch, sodass ich ihn gar nicht hinschreiben sollte). Jetz check ich gar nichts mehr :D
Die Charakteristik kann auf jeden Fall 0 sein (da die Vektoren für [mm] R^{n} [/mm] ein Erzeugendensystem bilden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Sorry, sehe gerade dass meine Anmerkung mit der falschen Reihenfolge falsch war. Du lagst völlig richtig!
> Die Charakteristik kann auf jeden Fall 0 sein (da die
> Vektoren für [mm]R^{n}[/mm] ein Erzeugendensystem bilden.
Im Falle n ungerade. (Was du noch nicht bewiesen hast.)
Aus [mm] $t_1v_1+t_2v_2+...+t_nv_n=0$ [/mm] für irgendwelche [mm] $t_1,\ldots,t_n\in [/mm] K$ folgt (mit einem Zwischenschritt)
[mm] $t_1+t_n=0$
[/mm]
[mm] $t_1+t_2=0$
[/mm]
[mm] $t_2+t_3=0$
[/mm]
...
[mm] $t_{n-1}+t_n=0$.
[/mm]
Die erste Gleichung liefert [mm] $t_1=-t_n$.
[/mm]
Die zweite Gleichung liefert dann [mm] $t_2=-t_1=t_n$
[/mm]
Die dritte Gleichung liefert dann [mm] $t_3=-t_2=-t_n$.
[/mm]
...
Die (n-1)-te Gleichung liefert dann [mm] $t_{n-1}=(-1)^{n-1}t_n$.
[/mm]
Die letzte Gleichung liefert [mm] $t_{n-1}=-t_n$.
[/mm]
Die letzten beiden Zeilen liefern [mm] $(-1)^{n-1}t_n=-t_n$, [/mm] also [mm] $((-1)^{n-1}+1)t_n=0$. [/mm] Um daraus auf [mm] $t_n=0$ [/mm] schließen zu können, benötigen wir [mm] $(-1)^{n-1}+1\not=0$. [/mm] Wann ist das der Fall?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 15.11.2012 | | Autor: | petapahn |
Wenn n ungerade ist (das wäre ja dann der Beweis dafür).
Ich habe das aber auch schon mit dem Gaußalgorithmus begründet, da bei geraden n eine Nullzeile entstehen würde.
Was hat das jetzt mit der Charakteristik von K zu tun?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn n ungerade ist
... und gleichzeitig [mm] $1+1\not=0$ [/mm] gilt. Was mit welcher Aussage über die Charakteristik von K äquivalent ist?
> (das wäre ja dann der Beweis dafür).
Ja, im Falle n ungerade und [mm] $1+1\not=0$ [/mm] erhalten wir [mm] $t_n=0$ [/mm] und damit nacheinander auch [mm] $t_1=0$, $t_2=0$, [/mm] ... , [mm] $t_{n-1}=0$. [/mm] Also sind die [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] in diesem Falle linear unabhängig.
(Zeige eventuell noch, dass sie anderenfalls linear abhängig sind.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 15.11.2012 | | Autor: | petapahn |
Die Charakteristik darf nicht 2 sein? :D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Die Charakteristik darf nicht 2 sein? :D
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Do 15.11.2012 | | Autor: | petapahn |
Super! Vielen Dank für deine Hilfe nochmal :)
|
|
|
|
