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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Do 06.07.2006 | | Autor: | deralex |
| Aufgabe | [mm] f:R^3 [/mm] -> [mm] R^3 [/mm] Matrix [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 3 & 0 } [/mm] bzgl. der Standartbasis.
Welche Matrix hat f bzgl. der Basis [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{2 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
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Das Ergbnis ist wohl [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] .
Weiß jemand wie das Ausrechnen kann und was es genau bedeutet?
Vielen Dank schonmal :).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nun, eine Funktion sollte unabhängig vom Koordinatensystem sein.
Die Matrix gilt aber nur für das Standardkoordinatensytem.
Was mußt du machen, wenn du einen Vektor in der gegebenen Basis mit dieser Matrix verrechnen willst?
Du mußt den Vektor erst in das normale Koordinatensystem transformieren, dann die Matrix drauf los lassen, und das Ergebnis wieder in die neue Basis zurücktransformieren.
Sei $F$ deine Matrix da oben.
$T$ sei die Matrix, die von der neuen Basis in die Standardbasis transformiert. Deren Spalten sind einfach die Basisvektoren, also
[mm] $T=\left( \vektor{1 \\ -1 \\ 0} \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \vektor{2 \\ 1 \\ 3}\right)$
[/mm]
(bin zu faul, die Klammern zu entfernen...)
[mm] $T^{-1}$ [/mm] ist dann die inverse, die also von der Standardbasis in die neue Basis transformiert.
Jetzt hast du
[mm] $\vec F(\vec [/mm] x [mm] )=F\vec x_{Standardbasis}=\underbrace{T^{-1}FT}_{LSG}\vec x_{neue Basis}$
[/mm]
Du mußt also die drei Matrizen miteinander multiplizieren, dann hast du die Matrix, welche die Funktion in den neuen Koordinaten beschreibt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Do 06.07.2006 | | Autor: | deralex |
Vielen Dank für die schnelle Reaktion....
Ich werd bekloppt ... bin ich doof... hilfe nein;) ...
wenn ich T * F * T^(-1) rechnen will ... muss ich quasi F*T = F' rechnen und dann T^(-1) * F' ....
warum? die Matrixmultiplikation verwirrt mich *g* ...
Anderes Thema aber wichtige Frage :
Will ich T und F multiplizieren (also T*F):
F = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 3 & 0 }, [/mm] T = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 }
[/mm]
Gehe ich nach der Formel http://de.wikipedia.org/wiki/Matrixmultiplikation#Matrizenmultiplikation kommt aber das falsche raus.
Nämlich [mm] \pmat{ 7 & 7 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 11 & 11 & -1 }
[/mm]
Rechne ich nach der FOrmel statt F*T T*F so erhalte ich das korrekte F' = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 6 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 9 }
[/mm]
Wenn ich jezt T^(-1)*F' so erhalte ich die angegebene neue Darstellungsmatrix. Was ist da los?
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Herzlichen Glückwunsch, du hast soeben herausgefunden, daß die Matrixmultiplikation weder kommutativ noch assoziativ ist!
$AB [mm] \not= [/mm] BA$
$(AB)C [mm] \not= [/mm] A(BC)$
Im vorliegenden Fall mußt du (AB)C rechnen!
Edit:
Du mußt [mm] $T^{-1}FT$ [/mm] berechnen, nicht [mm] $TFT^{-1}$, [/mm] das ist dir doch klar, oder? Irgendwie stehts da wohl andersrum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Do 06.07.2006 | | Autor: | deralex |
Das war mir auch vorher bekannt *g* ... (peinlich wenns jetzt so rüberkommt ;) ) ... aber ich honk habe immer (auch schon bei vorherigen Rechnungen T * F * T^-1 gerechnet.
Wenn man dann die Multiplikation umdreht gehts auch so... bzw. man rechnet effektiv ja das andere.
Schieb ichs mal auf die Hitze....
Danke!!!
PS: Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ.
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Assoziativ? Klar! hast recht, sonst ginge die ganze Rechnerei ja gar nicht.
Vielleicht hast du auch einfach das T verwechselt? Es kann sein, daß ich das T genau falschrum definiert habe, also daß das T in Lehrbüchern in das normale System transformiert. Ist eigentlich ja auch egal, solange man im Auge behält, was getan werden muß und bei welcher Trafo die Spalten die Basisvektoren sind.
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