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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 So 14.11.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 5.6.
Seien [mm] $v_{1}=\vektor{1\\-2\\1}$, $v_{2}=\vektor{1\\0\\-1}$, $v_{3}=\vektor{1\\1\\1}$. [/mm] Die Drehung D um $90°$ um die Achse durch [mm] $v_{1}$ [/mm] wird bezogen auf die Basis [mm] $B=(v_{1},v_{2},v_{3})$ [/mm] von [mm] $\IR^{3}$ [/mm] durch die Matrix [mm] $B=\vektor{1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0}$ [/mm] beschrieben. Wie lautet die Matrix dieser Drehung bezüglich der kanonischen Basis? Berechnet werden soll auch D(v) wobei [mm] $v=\vektor{1\\2\\3}$. [/mm] |
Hoi!
Zuerst habe ich die Transformationsmatrix bezogen auf die kanonische Basis gemacht:
[mm] $v_{1}=1e_{1}-2e_{2}+1e_{3}$
[/mm]
[mm] $v_{2}=1e_{1}-1e_{3}$
[/mm]
[mm] $v_{3}=1e_{1}+2e_{2}+3e_{3}$
[/mm]
dann lese ich die Transformationsmatrix an den Koeffizienten ab: [mm] $\vektor{1&-2&1\\1&0&-1\\1&2&3}$
[/mm]
Und D(v) berechne ich nun so: [mm] $\vektor{1&-2&1\\1&0&-1\\1&2&3} \cdot \vektor{1\\2\\3}=\vektor{1&-2&1\\2&0&-2\\3&6&9}$
[/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und danke für jeden Hinweis.
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> 5.6.
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> Seien [mm]v_{1}=\vektor{1\\
-2\\
1}[/mm], [mm]v_{2}=\vektor{1\\
0\\
-1}[/mm],
> [mm]v_{3}=\vektor{1\\
1\\
1}[/mm]. Die Drehung D um [mm]90°[/mm] um die Achse
> durch [mm]v_{1}[/mm] wird bezogen auf die Basis
> [mm]B=(v_{1},v_{2},v_{3})[/mm] von [mm]\IR^{3}[/mm] durch die Matrix
> [mm]B=\vektor{1&0&0\\
0&0&-1\\
0&1&0}[/mm] beschrieben. Wie lautet die
> Matrix dieser Drehung bezüglich der kanonischen Basis?
> Berechnet werden soll auch D(v) wobei [mm]v=\vektor{1\\
2\\
3}[/mm].
> Hoi!
>
Hallo,
> Zuerst habe ich die Transformationsmatrix bezogen auf die
> kanonische Basis gemacht:
Welche Transformationsmatrix? Ich sag's Dir: die für den Übergang von B zur kanonischen Basis, in meiner Schreibweise [mm] _ET_B.
[/mm]
>
> [mm]v_{1}=1e_{1}-2e_{2}+1e_{3}[/mm]
> [mm]v_{2}=1e_{1}-1e_{3}[/mm]
> [mm]v_{3}=1e_{1}+2e_{2}+3e_{3}[/mm]
Wo hast Du [mm] v_3 [/mm] her?
>
> dann lese ich die Transformationsmatrix an den
> Koeffizienten ab: [mm]\vektor{1&-2&1\\
1&0&-1\\
1&2&3}[/mm]
Das ist falsch - abgesehen von dem falschen Vektor [mm] v_3.
[/mm]
Die richtige Matrix ist die Transponierte davon.
>
> Und D(v) berechne ich nun so:
Bevor Du D(v) berechnest, mußt Du doch die darstellungsmatrix von D bzgl. der kanonischen Basis aufstellen.
Am besten liest Du erstmal nach, wie das geht und startest dann einen Versuch.
Gruß v. Angela
> [mm]\vektor{1&-2&1\\
1&0&-1\\
1&2&3} \cdot \vektor{1\\
2\\
3}=\vektor{1&-2&1\\
2&0&-2\\
3&6&9}[/mm]
>
>
> Stimmt das so?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> danke für jeden Hinweis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 So 14.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo und Danke.
> Das ist falsch - abgesehen von dem falschen Vektor
> Die richtige Matrix ist die Transponierte davon.
Wieso muss ich das noch transponieren? Ich suche doch [mm] $T^{B}_{E}$?? [/mm] Also mache ich für die Basis B eine Linearkombination aus den Vektoren der kanonischen Basis und die Koeffizienten sind die Spaltenvektoren der Transformationsmatrix...
> Bevor Du D(v) berechnest, mußt Du doch die darstellungsmatrix von D bzgl. der > kanonischen Basis aufstellen.
Die berechne ich mit der Transformationsformel?
[mm] $D^{E}_{B}=T^{E}_{B} \cdot D^{B}_{E}\cdot T^{B}_{E}$ [/mm]
Und [mm] $T^{B}_{E}$ [/mm] ist die invertierte Transformationsmatrix [mm] $T^{B}_{E}$...
[/mm]
Richtig?
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> Hallo und Danke.
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> > Das ist falsch - abgesehen von dem falschen Vektor
> > Die richtige Matrix ist die Transponierte davon.
>
> Wieso muss ich das noch transponieren? Ich suche doch
> [mm]T^{B}_{E}[/mm]?? Also mache ich für die Basis B eine
> Linearkombination aus den Vektoren der kanonischen Basis
> und die Koeffizienten sind die Spaltenvektoren der
> Transformationsmatrix...
Hallo,
eben. Die Spaltenvektoren.
>
> > Bevor Du D(v) berechnest, mußt Du doch die
> darstellungsmatrix von D bzgl. der > kanonischen Basis
> aufstellen.
>
> Die berechne ich mit der Transformationsformel?
Ja.
>
> [mm]D^{E}_{B}=T^{E}_{B} \cdot D^{B}_{E}\cdot T^{B}_{E}[/mm]
Falsch.
Außerdem suchst Du doch [mm] D_E^E, [/mm] und es ist
[mm] $D^{E}_{E}=T^{B}_{E} \cdot D^{B}_{B}\cdot T^{E}_{B}$ [/mm]
>
> Und [mm]T^{B}_{E}[/mm] ist die invertierte Transformationsmatrix
> [mm]T^{B}_{E}[/mm]...
Ja.
Gruß v. Angela
>
> Richtig?
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 14.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> Ja.
Also:
[mm] $T^{E}_{B}=\vektor{1&1&1\\-2&0&1\\1&-1&1}$
[/mm]
[mm] $T^{B}_{E}=\frac{1}{6}\vektor{1&-2&1\\3&0&-3\\2&2&2}$
[/mm]
[mm] $D^{E}_{E}=\vektor{1&1&1\\-2&0&1\\1&-1&1}\cdot \vektor{1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0} \cdot \frac{1}{6}\vektor{1&-2&1\\3&0&-3\\2&2&2}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{6}\vektor{2&-4&-4\\1&4&-5\\6&0&0}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{6}\vektor{2&-4&-4\\1&4&-5\\6&0&0}\cdot \vektor{1\\2\\3}=\vektor{-3\\-1\\1}$
[/mm]
Stimmt das so?
Dankeschön
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> > Ja.
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> Also:
>
> [mm]T^{E}_{B}=\vektor{1&1&1\\
-2&0&1\\
1&-1&1}[/mm]
Hallo,
nein, das ist die Matrix, die den Basiswechsel von B nach E beschreibt,
entsprechend ändert sich auch der Rest.
Gruß v. Angela
>
> [mm]T^{B}_{E}=\frac{1}{6}\vektor{1&-2&1\\
3&0&-3\\
2&2&2}[/mm]
>
> [mm]$D^{E}_{E}=\vektor{1&1&1\\
-2&0&1\\
1&-1&1}\cdot \vektor{1&0&0\\
0&0&-1\\
0&1&0} \cdot \frac{1}{6}\vektor{1&-2&1\\
3&0&-3\\
2&2&2}[/mm]
>
> = [mm]\frac{1}{6}\vektor{2&-4&-4\\
1&4&-5\\
6&0&0}$[/mm]
>
>
> [mm]\frac{1}{6}\vektor{2&-4&-4\\
1&4&-5\\
6&0&0}\cdot \vektor{1\\
2\\
3}=\vektor{-3\\
-1\\
1}[/mm]
>
>
> Stimmt das so?
>
> Dankeschön
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Di 16.11.2010 | | Autor: | kushkush |
OK, dankeschön!!!!!!
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