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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 So 31.07.2011 | | Autor: | felixt |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] die folgendermaßen definierte Abbildung [mm] \IR^3 [/mm] nach [mm] \IR^3:
[/mm]
f: [mm] (x,y,z)\mapsto(-5x-18y-24z,4x+13y+16z,-2x-6y-7z).
[/mm]
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen [mm] _BM_B(f) [/mm] und [mm] _{B'}M_{B'}(f) [/mm] mit
(a) B={(1,0,0),(0,1,1),(-1,0,1)},
und
(b) B'={(3,-1,0),(-1,-1,1),(-3,2,-1)}.
(c) Berechnen Sie [mm] _BM_{B'}(id) [/mm] und [mm] _{B'}M_B(id).
[/mm]
(d) Verifizieren Sie, dass gilt [mm] _{B'}M_{B'}(f)=_BM_{B'}(id)\cdot_BM_B(f)\cdot_{B'}M_B(id).
[/mm]
Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f) und eine Basis von Bild(f). Welche Dimension hat [mm] \IR^3/Kern(f)? [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
für (a) hab ich folgendes gemacht:
Die Abbildungsmatrix von f mit der Standardbasis sieht bei mir so aus:
[mm] M=\begin{pmatrix}-5&-18&-24\\4&13&16\\2&-6&-7\end{pmatrix}
[/mm]
Nun berechne ich [mm] _BM_B(f) [/mm] wie folgt:
[mm] _BM_B(f)=(B)^{-1}\cdot(M)\cdot(B)
[/mm]
und erhalte für [mm] _BM_B(f):
[/mm]
[mm] _BM_B(f)=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&-1\\1&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-5&-18&-24\\4&13&16\\2&-6&-7\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&-18&-42\\-40&37&84\\28&-24&-55\end{pmatrix}
[/mm]
Kann mir das jemand bestätigen? In meiner Lösung kommt nämlich etwas anderes heraus und ich weiß aber nicht wieso. Mein Basiswechsel müsste doch eigentlich stimmen?
Danke!
gruß
felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 So 31.07.2011 | | Autor: | felixt |
Hallo,
hab den Fehler gefunden:
1. sieht die Darstellungsmatrix M so aus:
[mm] M=\begin{pmatrix}-5&-18&-24\\4&13&16\\-2&-6&-7\end{pmatrix}
[/mm]
und
2. außerdem ist B ja eine Basis und demnach angegeben als Vektoren (hab die Vektoren von B transponiert verwendet ...)
wenn mann das alles nicht so macht, kommt schlussendlich
[mm] _BM_B(f)=\begin{pmatrix}-5&-18&-24\\4&13&16\\-2&-6&-7\end{pmatrix}
[/mm]
raus.
gruß
felix
EDITH:
[mm] _BM_B(f) [/mm] müsste natürlich so aussehen:
[mm] _BM_B(f)=\begin{pmatrix}-11&-84&-36\\4&29&12\\-6&-42&-17\end{pmatrix}[/mm]
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Hallo felixt,
> Sei f: [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm] die folgendermaßen definierte
> Abbildung [mm]\IR^3[/mm] nach [mm]\IR^3:[/mm]
> f: [mm](x,y,z)\mapsto(-5x-18y-24z,4x+13y+16z,-2x-6y-7z).[/mm]
> Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen [mm]_BM_B(f)[/mm] und
> [mm]_{B'}M_{B'}(f)[/mm] mit
>
> (a) B={(1,0,0),(0,1,1),(-1,0,1)},
> und
> (b) B'={(3,-1,0),(-1,-1,1),(-3,2,-1)}.
> (c) Berechnen Sie [mm]_BM_{B'}(id)[/mm] und [mm]_{B'}M_B(id).[/mm]
> (d) Verifizieren Sie, dass gilt
> [mm]_{B'}M_{B'}(f)=_BM_{B'}(id)\cdot_BM_B(f)\cdot_{B'}M_B(id).[/mm]
> Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f) und eine Basis von
> Bild(f). Welche Dimension hat [mm]\IR^3/Kern(f)?[/mm]
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> für (a) hab ich folgendes gemacht:
>
> Die Abbildungsmatrix von f mit der Standardbasis sieht bei
> mir so aus:
>
> [mm]M=\begin{pmatrix}-5&-18&-24\\4&13&16\\2&-6&-7\end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun berechne ich [mm]_BM_B(f)[/mm] wie folgt:
>
> [mm]_BM_B(f)=(B)^{-1}\cdot(M)\cdot(B)[/mm]
>
> und erhalte für [mm]_BM_B(f):[/mm]
>
> [mm]_BM_B(f)=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&-1\\1&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-5&-18&-24\\4&13&16\\2&-6&-7\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&-18&-42\\-40&37&84\\28&-24&-55\end{pmatrix}[/mm]
>
> Kann mir das jemand bestätigen? In meiner Lösung kommt
> nämlich etwas anderes heraus und ich weiß aber nicht
> wieso. Mein Basiswechsel müsste doch eigentlich stimmen?
>
Wenn die durch Kommata getrennte Tupel
als Zeilenvektoren aufgefasst werden, dann
stimmt Deine Darstellungsmatrix.
In der Lösung wurden wahrscheinlich genau
diese Tupel als Spaltenvektoren aufgefasst.
> Danke!
>
> gruß
> felix
Gruss
MathePower
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