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| Aufgabe | Sei
[math]A = \pmat{ 5 & 4 & 2 \\ -8 & -7 & -4 \\ 4 & 4 & 3 }[/math]
die Matrix einer linearen Abbildung [math]f:\IR^{3}\to\IR^{3}[/math] bezüglich der Basis [math](\vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1})[/math]. Bestimmen Sie die Matrix von [math]f[/math] bezüglich der Basis [math](\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ -2})[/math]! |
Hallo!
Ich habe zunächst ein grundlegendes Problem:
Habe ich eine solche Matrix A (bzw. eine Abbildung [math]f[/math]) und möchte nun einen Vektor einsetzen, setze ich ihn dann einfach ein oder bilde ich erst den zugehörigen Koordinatenvektor und setze ihn ein?
Also z.B. oben möchte ich das Bild von A von dem Vektor [math]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/math] wissen. Rechne ich nun
[math]A = \pmat{ 5 & 4 & 2 \\ -8 & -7 & -4 \\ 4 & 4 & 3 }\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/math]
oder erst:
[math]\vektor{1 \\ 2 \\ 3} = 1*\vektor{1 \\ 2 \\ 0} + 3*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/math]
--> Zugehöriger Koordinatenvektor: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] und somit:
[math]A = \pmat{ 5 & 4 & 2 \\ -8 & -7 & -4 \\ 4 & 4 & 3 }\vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/math]
Was kommt dann heraus? Ein Koordinatenvektor bezüglich der Basis, mit der auch der oben gerade "umgewandelt" wurde? Oder ein normaler Vektor?
Weiss ich das, werde ich die Aufgabe versuchen weiter zu berechnen.
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mi 30.01.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Sei
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> [math]A = \pmat{ 5 & 4 & 2 \\ -8 & -7 & -4 \\ 4 & 4 & 3 }[/math]
>
> die Matrix einer linearen Abbildung [math]f:\IR^{3}\to\IR^{3}[/math]
> bezüglich der Basis [math](\vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1})[/math].
> Bestimmen Sie die Matrix von [math]f[/math] bezüglich der Basis
> [math](\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ -2})[/math]!
> Ich habe zunächst ein grundlegendes Problem:
> Habe ich eine solche Matrix A (bzw. eine Abbildung [math]f[/math]) und
> möchte nun einen Vektor einsetzen, setze ich ihn dann
> einfach ein oder bilde ich erst den zugehörigen
> Koordinatenvektor und setze ihn ein?
>
> Also z.B. oben möchte ich das Bild von A von dem Vektor
> [math]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/math] wissen. Rechne ich nun
>
> [math]A = \pmat{ 5 & 4 & 2 \\ -8 & -7 & -4 \\ 4 & 4 & 3 }\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/math]
>
> oder erst:
>
> [math]\vektor{1 \\ 2 \\ 3} = 1*\vektor{1 \\ 2 \\ 0} + 3*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/math]
>
> --> Zugehöriger Koordinatenvektor: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/mm] und
> somit:
>
> [math]A = \pmat{ 5 & 4 & 2 \\ -8 & -7 & -4 \\ 4 & 4 & 3 }\vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/math]
So ist es OK! Das ganze Geschehen muß sich auf eine Basis beziehen.
> Was kommt dann heraus? Ein Koordinatenvektor bezüglich der
> Basis, mit der auch der oben gerade "umgewandelt" wurde?
Genau, alles bezieht sich auf die gleiche Basis.
> Oder ein normaler Vektor?
Das sind alles ganz normale Vektoren. Vektoren sind nie verrückt.
Gruß aus HH-Hamburg
Dieter
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Danke erstmal!
Nun zum weiteren Verständnis:
Gegeben habe ich eine Matrix A1, welche die Ergebnisse als Koordinatenvektoren bezüglich der Basis B1 der linearen Abbildung f liefert, wenn ich dort Koordinatenvektoren bezüglich B1 einsetze. Nun suche ich eine Matrix A2, die genau dasselbe wie A1 macht, nur eben dass ich die Koordinatenvektoren bzgl. der Basis B2 einsetze und dann auch solche erhalten würde.
Um das zu erreichen, muss ich eine Matrix S finden, und dann ist
A2 = [mm] S^{-1} [/mm] * A1 * S
(Es muss nur eine Matrix S sein, weil die Abbildung in dieselben Vektorräume abbildet).
Nun müsste ich also solch ein S berechnen, aber wie mache ich das?
In meinem Hefter steht:
S = [mm] M^{B2}_{B1}(id_{V}).
[/mm]
Heißt das soviel wie als ob ich die Vektoren der Basis B2 als Linearkombination der Vektoren B1 schreiben müsste (Also praktisch ein LGS) und das Ergebnis wäre S?
Also praktisch
(B1|B2) = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & | & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & -2 }
[/mm]
--> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & -2 }
[/mm]
Und nun ist die rechte Seite S?
Warum eigentlich? Ist S die identische Abbildung von B1 nach B2?
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:07 Do 31.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Deine Matrix ist die Transformationsmatrix von [mm] B_2 [/mm] nach [mm] B_1.
[/mm]
[mm] \pmat{1 & 1 & 0 \\-1 & -2 & 1 \\0 & 1 & -2 }*\vektor{1\\0\\0}=\vektor{1\\-1\\0}
[/mm]
wobei gilt, dass [mm] \vektor{1\\1\\0}=\vektor{1\\0\\0}_{B_2}=\vektor{1\\-1\\0}_{B_1}
[/mm]
Es ist also die identische Abbildung, die nur die Darstellung deines Vektors verändert.
Da A für [mm] B_1 [/mm] definiert ist, kannst du nun den Vektor abbilden.
D.h. :
[mm] A_{B_2}*\vektor{1\\0\\0}_{B_2}=A*\vektor{1\\-1\\0}_{B_1}=\vektor{1\\-1\\0}_{B_1}
[/mm]
Du musst nun wieder mit [mm] S^{-1} [/mm] in die Basis [mm] B_2 [/mm] wechseln.
Insgesammt haben wir damit :
[mm] A_{B_2}*\vektor{x\\y\\z}_{B_2}=S^{-1}*A*S*\vektor{x\\y\\z}_{B_2}
[/mm]
(p.s. Es sind nicht alle Vektoren normal. Das hängt immer von dem Vektor ab, aus dessen Sicht man es betrachtet. Es hat jedoch überhauptnichts damit zu tun, ob der Vektor umgewandelt ist. ;) )
Ciao.
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Vielen Dank!
Ich habe soeben verstanden, warum man das überhaupt so macht!
Das Ergebnis wäre dann also
[math]A_{2} = S^{-1} * A * S[/math]
mit
S = [mm] \pmat{1 & 1 & 0 \\-1 & -2 & 1 \\0 & 1 & -2 }:
[/mm]
und
[mm] S^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{3 & 2 & 1 \\-2 & -2 & -1 \\-1 & -1 & -1 }
[/mm]
-->
[mm] A_{2} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1 }
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Do 31.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Ja, stimmt so.
Ciao.
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