Basiswechsel verstanden? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,
Ich habe mich die letzten Tage nochmal intensiv mit dem Basiswechsel befasst und würde jetzt gerne wissen ob meine Überlegungen so richtig sind.
Sagen wir mal wir haben eine Abbildung f. Sie ist gegeben bzgl. der Standartbasis durch die Matrix A.
Wir wollen diesselbe Abbildung bzgl. einer Basis C darstellen.
Ich fang dann an ein kommutatives Diagramm zu zeichnen. Das sieht dann in etwa so aus:
E ===== A =====> E
! !
! !
! !
! !
C======B======>C
In Worten: Der obere Teil des Diagrams (E = A => E) soll die gegeben Abbildung darstellen: Man hat einen Vektor bzgl. der E-Basis, multipliziert ihn mit A und erhält sein Bild wieder bzgl. der E-Basis.
Der untere Teil des Diagramms ist das was wir wollen. Wir haben einen Vektor bzgl. der C - Basis gegeben, wollen ihn mit einer noch unbekannten Matrix B multiplizieren und ihn dann wieder bzgl. der C - Basis haben.
Um von C über B nach C zu kommen gibt es keinen direkten Weg, also laufen wir einen Umweg.
Dafür starten wir immer unten links (oder eben bei der Ausgangsbasis der "neuen" Abbildung).
Wir starten also unten links und wollen zunächst einmal die C-Basis bzgl. der E-Basis darstellen. Das geht sehr einfach, nämlich indem wir die Vektoren der Basis als Spalten einer Matrix geschrieben mit den Vektoren der E-Basis, geschrieben als Spalten einer Matrix, multiplizieren. Das ist dann einfach nur C, weil wir C mit E multiplizieren, was natürlich C ergibt.
Wir notieren uns schoneinmal C.
Dann gehen wir unseren bekannten Weg über die Multiplikation mit A.
Also haben wir bis jetzt C*A.
Jetzt hätten wir einen Vektor bzgl. der C-Basis bzgl. der E-Basis abgebildet.
Wir wollen ihn aber wieder bzgl. der C-Basis abgebildet haben. Um von der E-Basis in die C-Basis zu kommen, multiplizieren wir mit C^(-1) (warum das genau so ist ist mir nicht ganz klar, aber ich nehme es einfach mal so hin ;) )
Nun haben wir: C * A * C^(-1)
Das rechnen wir aus, indem wir erst C * A rechnen. Und das Ergebniss hieraus mal C(^-1).
Was dabei rauskommt, ist die Matrix B, mit der wir einen Vektor bzgl. der C-Basis multiplizieren können und sein Bild bezüglich der C-Basis erhalten. Und diese Matrix beschreibt dieselbe lineare Abbildung wie die die durch die Matrix A gegeben war, nur eben bzgl. einer anderen Basis.
Wenn ich jetzt das Bild eines Vektors berechnen möchte, multipliziere ich da einfach mit der neuen B-Matrix?
Oder allgemein, wie berechne ich das Bild?
So, ich hoffe inständigst das jetzt endlich verstanden zu haben.
Wäre nett wenn jemand kurz darüber schaut und mir sagt ob das stimmt.
Danke!
|
|
| |
|
So ich stelle jetzt noch eine Frage um die Diskussion etwas übersichtlicher zu machen, oben ist ja praktisch die Theorie :)
So.
1.) Sagen wir mal ich hätte eine Abbildung bzgl. der Basis mit den Vektoren e1,e2,e3 und der Basis mit den Vektoren e1,e2,e3,e4 bezüglich der Matrix A gegeben.
Von wo nach wo die lineare Abbildung dann geht kann ich an den Zeilen und Spaltenzahlen der abbildenden Matrix ablesen, oder?
Wenn die Matrix A also 3 Zeilen und 4 Spalten hätte, dann würde die Abbildung vom R4 in den R3 gehen, weil wir sie mit einem Vektor aus dem R4 multiplizieren müssen und dann einen Vektor aus dem R3 herausbekommen.
2.) Ich habe oben ein einfaches Beispiel genommen. Wie würde ich ein kommutatives Diagramm interpretieren wenn wir eine Abbildung bzgl. der Basen C und D gegeben hätten, und diese Abbildung bezüglich der Basen X und Y haben wollen?
Das kommutative Diagramm sehe dann so aus:
C ------ A --------> D
! !
! !
! !
X --------B--------> Y
Starte ich bei der Ausgangsbasis der "neuen" Abbildung sehe ich, dass ich zunächst einmal von X nach C transformieren müsste. Wie mache ich das?
3.) Nocheinmal die Frage von oben: Wie berechne ich das Bild eines Vektors?
Danke!
|
|
|
| |
|
> 1.) Sagen wir mal ich hätte eine Abbildung bzgl. der Basis
> mit den Vektoren e1,e2,e3 und der Basis mit den Vektoren
> e1',e2',e3',e4' bezüglich der Matrix A gegeben.
>
> Von wo nach wo die lineare Abbildung dann geht kann ich an
> den Zeilen und Spaltenzahlen der abbildenden Matrix
> ablesen, oder?
Ja.
>
> Wenn die Matrix A also 3 Zeilen und 4 Spalten hätte, dann
> würde die Abbildung vom R4 in den R3 gehen, weil wir sie
> mit einem Vektor aus dem R4 multiplizieren müssen und dann
> einen Vektor aus dem R3 herausbekommen.
Ja.
>
> 2.) Ich habe oben ein einfaches Beispiel genommen. Wie
> würde ich ein kommutatives Diagramm interpretieren wenn wir
> eine Abbildung bzgl. der Basen C und D gegeben hätten, und
> diese Abbildung bezüglich der Basen X und Y haben wollen?
>
> Das kommutative Diagramm sehe dann so aus:
>
> C ------ A --------> D
> ! !
> ! !
> ! !
> X --------B--------> Y
>
>
> Starte ich bei der Ausgangsbasis der "neuen" Abbildung sehe
> ich, dass ich zunächst einmal von X nach C transformieren
> müsste. Wie mache ich das?
Du stellst die Basisvektoren von X in Koordinaten bzgl C dar und steckst sie in die Spalten einer Matrix.
> 3.) Nocheinmal die Frage von oben: Wie berechne ich das
> Bild eines Vektors?
Genauso. Der von den Spalten erzeugte Raum ist das Bild.
Du mußt Dir bloß darüber im Klaren sein, daß die Spalten v. B Koordinatenvektoren bzgl Y sind, die von A koordinatenvektoren bzgl. D.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi und danke schoneinmal.
Jetzt nochmal eine Frage zum Bild.
Also wenn wir die Matrix A mit [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9}
[/mm]
gegeben hätten. Die beschreibt die Abbildung f die sich auf die kanonsiche Basis bezieht.
Wäre dann das Bild:
Im f = x1 [mm] \pmat{1 \\ 4 \\ 6} [/mm] + x2 [mm] \pmat{2 \\ 5 \\ 8} [/mm] + x3 [mm] \pmat [/mm] {3 [mm] \\ [/mm] 6 [mm] \\ [/mm] 9}
?
oder ist das Bild: x1 [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + x2 [mm] \pmat{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + x2 [mm] \pmat{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ?
Und wenn ich das Bild des Vektor (1, 1, 1) berechnen wollte, dann multipliziere ich den Vektor mit der Matrix A und erhalte dabei:
[mm] \pmat [/mm] {6 [mm] \\ [/mm] 15 [mm] \\ [/mm] 24}
Das Bild des Vektors bzgl. der Basis der Abbildung (nämlich E) ist dann:
6 * [mm] \pmat [/mm] { 1 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 0} + 15* [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + 24 * [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Wenn ich das Bild des Vektors bzgl. einer Basis ausrechnen möchte, z.B. bzgl. der Basis C mit [mm] \pmat {1\\2\\4}, \pmat{2\\4\\9}, pmat{3\\2\\1}
[/mm]
muss ich dann:
6* [mm] \pmat {1\\2\\4} [/mm] + 15 * [mm] \pmat{2\\4\\9} [/mm] + 24 * [mm] pmat{3\\2\\1}
[/mm]
Wenn ich den Vektor bzgl. E gegeben habe, ich ihn aber bzgl. einer anderen Basis haben möchte, dann bilde ich ihn erst von E -> E ab und rechne dann in die C-Basis um, oder?
|
|
|
| |
|
> Also wenn wir die Matrix A mit [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9}[/mm]
>
> gegeben hätten. Die beschreibt die Abbildung f die sich auf
> die kanonsiche Basis bezieht.
>
> Wäre dann das Bild:
>
> Im f = x1 [mm]\pmat{1 \\ 4 \\ 6}[/mm] + x2 [mm]\pmat{2 \\ 5 \\ 8}[/mm] + x3 [mm] \pmat{3 \\ 6 \\ 9}
[/mm]
>
> ?
Ja, so könnte man das Bild schreiben.
Da die Bildvektoren linear unabhängig sind, sind die drei sogar eine Basis des Bildes. Das Bild ist in diesem Falle der komplette [mm] \IR^3.
[/mm]
>
> oder ist das Bild: x1 [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + x2 [mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> + x2 [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ?
Wie gesagt, ist das Bild der komplette [mm] \IR^3, [/mm] der natürlich von den drei Einheitsvektoren aufgespannt wird.
Es bleibt mir aber ein ganz ungutes Gefühl: was hast Du denn eigentlich getan, bevor Du diese Frage gestellt hast? Vielleicht erzählst Du das besser nochmal, damit wir gucken können, ob Du den richtigen Schluß gezogen hast.
>
> Und wenn ich das Bild des Vektor (1, 1, 1) berechnen
> wollte, dann multipliziere ich den Vektor mit der Matrix A
> und erhalte dabei:
>
> [mm] \pmat{6 \\ 15 \\24}
[/mm]
Ja.
>
> Das Bild des Vektors bzgl. der Basis der Abbildung (nämlich
> E) ist dann:
>
> 6 [mm] *\pmat{ 1 \\0\\ 0} [/mm] + 15* [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] + 24 *
> [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Haargenau. Ich bin entzückt.
>
> Wenn ich das Bild des Vektors bzgl. einer Basis ausrechnen
> möchte, z.B. bzgl. der Basis C mit [mm]\pmat {1\\2\\4}, \pmat{2\\4\\9}, \pmat{3\\2\\1}[/mm]
>
> muss ich dann:
>
> 6* [mm]\pmat {1\\2\\4}[/mm] + 15 * [mm]\pmat{2\\4\\9}[/mm] + 24 * [mm] \pmat{3\\2\\1}
[/mm]
Ich verstehe nicht, was Du tun möchtest.
>
>
> Wenn ich den Vektor bzgl. E gegeben habe, ich ihn aber
> bzgl. einer anderen Basis haben möchte, dann bilde ich ihn
> erst von E -> E ab und rechne dann in die C-Basis um, oder?
Wenn Du [mm] \pmat{6 \\ 15 \\24}_E [/mm] umrechnen willst in Koordinaten bzgl C, also [mm] \pmat{6 \\ 15 \\24}_E=\pmat{a \\ b \\c}_C, [/mm] mußt Du das GS
[mm] \pmat{6 \\ 15 \\24}=a\pmat{1\\2\\4}+b\pmat{2\\4\\9}+c\pmat{3\\2\\1} [/mm] lösen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Und wieder hi :)
>
> > Also wenn wir die Matrix A mit [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9}[/mm]
>
> >
> > gegeben hätten. Die beschreibt die Abbildung f die sich auf
> > die kanonsiche Basis bezieht.
> >
> > Wäre dann das Bild:
> >
> > Im f = x1 [mm]\pmat{1 \\ 4 \\ 6}[/mm] + x2 [mm]\pmat{2 \\ 5 \\ 8}[/mm] + x3
> [mm]\pmat{3 \\ 6 \\ 9}[/mm]
> >
> > ?
>
> Ja, so könnte man das Bild schreiben.
>
> Da die Bildvektoren linear unabhängig sind, sind die drei
> sogar eine Basis des Bildes. Das Bild ist in diesem Falle
> der komplette [mm]\IR^3.[/mm]
>
> >
> > oder ist das Bild: x1 [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + x2 [mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> > + x2 [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ?
>
> Wie gesagt, ist das Bild der komplette [mm]\IR^3,[/mm] der natürlich
> von den drei Einheitsvektoren aufgespannt wird.
> Es bleibt mir aber ein ganz ungutes Gefühl: was hast Du
> denn eigentlich getan, bevor Du diese Frage gestellt hast?
> Vielleicht erzählst Du das besser nochmal, damit wir gucken
> können, ob Du den richtigen Schluß gezogen hast.
>
Wie meinst du das? Eigentlich habe ich einfach nur die Spalten der Matrix A hingeschrieben und X1... davor geschrieben. Das ist wahrscheinlich falsch. Aber ich habe keine wirklich Vorstellung wie ich das Bild berechnen könnte.
> >
> > Und wenn ich das Bild des Vektor (1, 1, 1) berechnen
> > wollte, dann multipliziere ich den Vektor mit der Matrix A
> > und erhalte dabei:
> >
> > [mm]\pmat{6 \\ 15 \\24}[/mm]
>
> Ja.
>
> >
> > Das Bild des Vektors bzgl. der Basis der Abbildung (nämlich
> > E) ist dann:
> >
> > 6 [mm]*\pmat{ 1 \\0\\ 0}[/mm] + 15* [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] + 24 *
> > [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Haargenau. Ich bin entzückt.
>
> >
> > Wenn ich das Bild des Vektors bzgl. einer Basis ausrechnen
> > möchte, z.B. bzgl. der Basis C mit [mm]\pmat {1\\2\\4}, \pmat{2\\4\\9}, \pmat{3\\2\\1}[/mm]
>
> >
> > muss ich dann:
> >
> > 6* [mm]\pmat {1\\2\\4}[/mm] + 15 * [mm]\pmat{2\\4\\9}[/mm] + 24 *
> [mm]\pmat{3\\2\\1}[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, was Du tun möchtest.
>
Okay, das hat sich erledigt, wie ich Koordinatenvektoren auf andere Basen transformiere weiss ich jetzt :)
> >
> >
> > Wenn ich den Vektor bzgl. E gegeben habe, ich ihn aber
> > bzgl. einer anderen Basis haben möchte, dann bilde ich ihn
> > erst von E -> E ab und rechne dann in die C-Basis um, oder?
>
> Wenn Du [mm]\pmat{6 \\ 15 \\24}_E[/mm] umrechnen willst in
> Koordinaten bzgl C, also [mm]\pmat{6 \\ 15 \\24}_E=\pmat{a \\ b \\c}_C,[/mm]
> mußt Du das GS
>
> [mm]\pmat{6 \\ 15 \\24}=a\pmat{1\\2\\4}+b\pmat{2\\4\\9}+c\pmat{3\\2\\1}[/mm]
> lösen.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
> Wie meinst du das? Eigentlich habe ich einfach nur die
> Spalten der Matrix A hingeschrieben und X1... davor
> geschrieben. Das ist wahrscheinlich falsch. Aber ich habe
> keine wirklich Vorstellung wie ich das Bild berechnen
> könnte.
Hallo,
ich konkretisiere meine Befürchtung:
Es soll vorkommen, daß Leute Vektoren, die auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen sind, 1. in die Spalten einer Matrix stecken, 2. diese auf Zeilenstufenform bringen, 3. hieran die Dimension des Bildes ablesen und 4. die Spalten mit Pivotelement (führendem Element einer Zeile) als Basis des aufgespannten Raumes nehmen.
1.-3. sind völlig richtig, 4. ist grottenfalsch, und ich wollte ausschließen, daß Du so etwas getan hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Sagen wir mal wir haben eine Abbildung f. Sie ist gegeben
> bzgl. der Standartbasis durch die Matrix A.
>
> Wir wollen diesselbe Abbildung bzgl. einer Basis C
> darstellen.
>
> Ich fang dann an ein kommutatives Diagramm zu zeichnen. Das
> sieht dann in etwa so aus:
>
> E ===== A =====> E
> ! !
> ! !
> ! !
> ! !
> C======B======>C
>
> In Worten: Der obere Teil des Diagrams (E = A => E) soll
> die gegeben Abbildung darstellen: Man hat einen Vektor
> bzgl. der E-Basis, multipliziert ihn mit A und erhält sein
> Bild wieder bzgl. der E-Basis.
>
> Der untere Teil des Diagramms ist das was wir wollen. Wir
> haben einen Vektor bzgl. der C - Basis gegeben, wollen ihn
> mit einer noch unbekannten Matrix B multiplizieren und ihn
> dann wieder bzgl. der C - Basis haben.
>
> Um von C über B nach C zu kommen gibt es keinen direkten
> Weg, also laufen wir einen Umweg.
>
> Dafür starten wir immer unten links (oder eben bei der
> Ausgangsbasis der "neuen" Abbildung).
>
> Wir starten also unten links und wollen zunächst einmal die
> C-Basis bzgl. der E-Basis darstellen. Das geht sehr
> einfach, nämlich indem wir die Vektoren der Basis als
> Spalten einer Matrix geschrieben mit den Vektoren der
> E-Basis, geschrieben als Spalten einer Matrix,
> multiplizieren. Das ist dann einfach nur C, weil wir C mit
> E multiplizieren, was natürlich C ergibt.
>
> Wir notieren uns schoneinmal C.
Hallo,
ich konnte Dir bisher sehr gut folgen.
Jetzt kommt eine Klippe. Du willst ja jetzt zuerst die bzgl der Basis C gegebenen Vektoren in solche bzgl E umformen.
Dazu mußt Du Deine Matrix C rechts an A multiplizieren. Rechts steht das, was Du zuerst machst,
Also hast Du jetzt A*C dastehen, und im weiteren Verlauf muß dann, weil man die entsprechende Transformation zum Schluß durchführt, [mm] C^{-1} [/mm] von vorn heranmultipliziert werden.
Das ist etwas verwirrend. Man merke sich: was man zuerst tut, schreibt man hinten hin.
(Ich hatte einen Prof., dem gefiel das nicht. Der hat alles andersrum gemacht ==> ich bin fast wahnsinnig geworden, weil ich als Anfängerin kein "normales" LA-Buch lesen konnte...)
> Um von der E-Basis in die C-Basis zu kommen,
> multiplizieren wir mit C^(-1) (warum das genau so ist ist
> mir nicht ganz klar, aber ich nehme es einfach mal so hin
Es gibt Situationen, in denen Hinnehmen und Verwenden zunächst die Methode der wahl ist.
Was will ich haben, wenn ich einen Vektor von E nach C und dann mit X wieder nach E transformiere?
Den Startvektor, insgesamt also die Identität, dh.
XC=E ==> [mm] X=C^{-1}
[/mm]
> Nun haben wir:
C^(-1) AC
> Was dabei rauskommt, ist die Matrix B, mit der wir einen
> Vektor bzgl. der C-Basis multiplizieren können und sein
> Bild bezüglich der C-Basis erhalten. Und diese Matrix
> beschreibt dieselbe lineare Abbildung wie die die durch die
> Matrix A gegeben war, nur eben bzgl. einer anderen Basis.
Ganz genau.
>
> Wenn ich jetzt das Bild eines Vektors berechnen möchte,
> multipliziere ich da einfach mit der neuen B-Matrix?
Wenn der Vektor in Koordinaten bzgl C gegeben ist, multiplizierst Du mit B. Du erhältst das Ergebnis dann in Koordinaten bzgl C.
> Oder allgemein, wie berechne ich das Bild?
Das Bild ist die Menge der Linearkombinationen der Spaltenvektoren, also der Raum, der von den Spaltenvektoren aufgespannt wird.
Das Bild an sich ist also sehr einfach.
Oft ist eine Basis des Bildes gefragt.
Dafür kannst Du Dir aus den Spalten eine maximale linear unabhängige Teilmenge herausfischen mit einem der Verfahren, die Du kannst.
Gruß v. Angela
Eine Anmerkung noch.
Der Fall, den Du hier betrachtet hast, ist noch nicht der allgemeine, denn meist wird am es mit 4 Basen zu tun haben!
[mm] E_1 [/mm] ===== A =====> [mm] E_2
[/mm]
! !
! !
! !
! !
[mm] C_1======B======>C_2
[/mm]
|
|
|
| |
|
Du hast geschrieben
"Jetzt kommt eine Klippe. Du willst ja jetzt zuerst die bzgl der Basis C gegebenen Vektoren in solche bzgl E umformen.
Dazu mußt Du Deine Matrix C rechts an A multiplizieren. Rechts steht das, was Du zuerst machst,
Also hast Du jetzt A*C dastehen, und im weiteren Verlauf muß dann, weil man die entsprechende Transformation zum Schluß durchführt, von vorn heranmultipliziert werden. "
Sorry, das hab ich jetzt nicht ganz verstanden.
Also ich will praktisch den linken Pfeil nach oben angehen. Also von C nach E transformieren. Und hier hatte ich jetzt einen Fehler. Man kommt von E nach C indem man einfach die Vektoren der Basis C als Matrix schreibt und von C nach kommt man dann durch C^-1.
Also käme ich auch auf C^-1 * A * C. Müsste dann also dasselbe sein wie du gemeint hast.
Du hast geschrieben:
"Wenn der Vektor in Koordinaten bzgl C gegeben ist, multiplizierst Du mit B. Du erhältst das Ergebnis dann in Koordinaten bzgl C."
Ok! Das ist ja dann genau der Verwendungszweck für unsere errechnete Matrix B.
So, jetzt noch ein etwas anderer Fall: Wenn ich jetzt einen Vektor bzgl. C gegeben hätte. Sagen wir mal ich hätte den Vektor [mm] \pmat{ 2 \\ 2 } [/mm] die C -Basis sähe für das Beispiel mal so aus: [mm] \pmat [/mm] { 1 [mm] \\ [/mm] 1}, [mm] \pmat{1 \\ 2}.
[/mm]
Dann wäre der Vektor v bzgl. der e-Basis: 2* [mm] \pmat{1 \\ 1} [/mm] + 2* [mm] \pmat{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \pmat{ 4 \\ 6 }.
[/mm]
Wenn ich den Vektor bzgl. C nun bzgl. D haben möchte, muss ich dann auf E runterrechnen (also so wie ich es zwei Zeilen drüber gemacht habe)?
Nochmal übersichtlicher:
c1,c2 = [mm] \pmat [/mm] { 1 [mm] \\ [/mm] 2}, [mm] \pmat{2 \\ 3}.
[/mm]
d1,d2 = [mm] \pmat [/mm] { [mm] 1\\ [/mm] 1 } , [mm] \pmat [/mm] {2 [mm] \\ [/mm] 1}
Ich will einen Vektor dessen Koordinaten in C bekannt sind in D ausdrücken.
Ich könnte eine Transformationsmatrix aufstellen. Das ist jetzt etwas anders, weil hier keine Abbildung dabei ist. Aber ich glaube ich müsste es trotzdem hinbekommen, hier mein Weg:
Wir haben einen Vektor bekannt bzgl. der Basis C und wollen ihn bzgl. D ausdrücken.
Mein Diagramm sieht dann fast aus wie immer:
E ===== E
! !
! !
C===== D
Ich starte unten links. Um den Vektor von C in E zu überführen multipliziere ich mit C^(-1) von E komme ich ohne Zwischenschritt nach E, dort multipliziere ich einfach mt D.
Ich erhalte als Transformationsmatrix T, die einen Vektor v bzgl. der Basis C, durch Multiplikation bzgl. der Basis D darstellt (als Vektor w):
T = C^(-1) * D
T lautet dann [mm] \pmat{-1 & -4 \\ 1 & 3}
[/mm]
Okay, also nochmal zusammenfassend, im Prinzip das einzige was man noch falsch machen könnte (und was ich vorhin ja auch falsch gemacht hab):
Von E ===> X kommt man indem man die Vektoren von X als Matrix schreibt.
Von X ====> E kommt man indem man die Vektoren von X als Matrix geschrieben invertiert.
Hab mir da jetzt ne Eselbrücke gebaut mit der ich mir das merken kann :D
Jetzt nochmal was zu einem anderem Fall: Du hast ja gesagt ich müsste mit vier Basen rechnen. Ich hab dazu einfach mal jetzt ein Beispiel:
Nehmen wir an wir haben die Abbildung A gegeben durch eine 2x3 Matrix bzgl. der Basen X [mm] \in R^3 [/mm] und Y [mm] \in R^2. [/mm] Wir wollen sie bzgl. zwei unterschiedlicher Basen C [mm] \in R^3 [/mm] und D [mm] \in R^2 [/mm] .
Wir können schon mal direkt sagen, dass die Abbildung von X nach Y geht.
k. Diagramm:
X ==== A ==== Y
! !
! !
! !
C==== B ==== D
Wir starten bei C. Von C nach X komme ich über einen Umweg über E. Ich transformiere erst nach E, indem ich mit C^-1 multipliziere und dann von E nach X. Dann mit A multiplizieren, dann wieder von Y nach E durch Y^-1 und von E nach D durch multiplizieren mit D.
Komme ich auf die Gleichung B = C^(-1)*X*A*Y^(-1)*D
Richtig oder totaler Schwachsinn? :D
So danke mal wieder ;)
|
|
|
| |
|
> So, jetzt noch ein etwas anderer Fall: Wenn ich jetzt einen
> Vektor bzgl. C gegeben hätte. Sagen wir mal ich hätte den
> Vektor [mm]\pmat{ 2 \\ 2 }[/mm] die C -Basis sähe für das Beispiel
> mal so aus: [mm]\pmat[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ 1 [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}, [mm]\pmat{1 \\ 2}.[/mm]
>
> Dann wäre der Vektor v bzgl. der e-Basis: 2* [mm]\pmat{1 \\ 1}[/mm]
> + 2* [mm]\pmat{1 \\ 2}[/mm] = [mm]\pmat{ 4 \\ 6 }.[/mm]
>
> Wenn ich den Vektor bzgl. C nun bzgl. D haben möchte, muss
> ich dann auf E runterrechnen (also so wie ich es zwei
> Zeilen drüber gemacht habe)?
Hallo,
auf jeden Fall scheint mir das der einfachste Weg zu sein, den bzgl. der Einheitsbasis braucht man ja für die Transformationsmatrizen nicht so viel zu rechnen, nur ggf. invertieren.
Du kannst natürlich auch hingehen und zunächst die [mm] c_i [/mm] als Linearkombination der [mm] d_i [/mm] schreiben, und dann gleich die Transformationsmatrix für diese beiden basen aufstellen.
Ich sag' mal so: am besten, man macht das, was man durchschaut und kann...
Wenn ich solche Transformationen eine Weile nicht gemacht habe, mache ich es immer, wie als zweites beschrieben - und so erkläre ich es auch Leuten, die diese Transformiererei nicht recht durchschauen.
>
> Wir haben einen Vektor bekannt bzgl. der Basis C und wollen
> ihn bzgl. D ausdrücken.
>
> Mein Diagramm sieht dann fast aus wie immer:
>
> E ===== E
> ! !
> ! !
> C===== D
>
> Ich starte unten links. Um den Vektor von C in E zu
> überführen multipliziere ich mit C^(-1)
Nein, das ist genau verkehrt.
Wenn C die Matrix ist mit [mm] c_1, c_2 [/mm] in den Spalten, mußt Du mit C multiplizieren.
Du willst ja, wenn Du [mm] \vektor{1 \\ 0}_C [/mm] mit der Matrix multiplizierst, [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] herausbekommen, nämlich den ersten Basisvektor v. C in Koordinaten bzgl. E.
von E komme ich
> ohne Zwischenschritt nach E, dort multipliziere ich einfach
> mt D.
Mit [mm] D^{-1}.
[/mm]
>
> Ich erhalte als Transformationsmatrix T, die einen Vektor v
> bzgl. der Basis C, durch Multiplikation bzgl. der Basis D
> darstellt (als Vektor w):
>
> T = C^(-1) * D
Nein, abgesehen davon, daß Du die Inversen verwendet hast: die Matrix von dem, was man als erstes tut, kommt nach hinten! Denn hinten schreibst Du ja auch den Vektor hin, auf den Du das Ganze anwendest. Er muß zuerst von C bearbeitet werden
Der Vektor v in Koordinaten bzgl C wird zuerst durch die Matrix C in Koordinaten bzgl E umgewandelt, anschließend wird dieser Vektor bzgl. E durch [mm] D^{-1} [/mm] in einen bzgl. D transformiert,
also [mm] Tv=D^{-1}C [/mm] v.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
mist-
na okay, jetzt hab ich aber endlihc kapiert was du mit "was du zuerst machst kommt nach hinten" meinst.
Ich hab jetzt hier mal ne ganz einfach Aufgabe:
Erstelle die Transformationsmatrix, die die kanonischen basisvektoren e1,e2,e3,e3 in die Basis vektoren [mm] \pmat{1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0}
[/mm]
Die Transformationsmatrix wäre jetzt einfach die neue Basis als Matrix.
Weil wenn ich 1;0;0;0 und 0;1;0;0 usw mit diesere Matrix multipliziere kommt genau die neue Basis als Spalten einer Matrix geschrieben heraus.
Deshalb habe ich mir halt eingeprägt, dass man von E nach X durch die Multiplikation mit X kommt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 So 20.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
