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| Aufgabe | Betrachten Sie den Körper [mm] \IR [/mm] und die [mm] \IR-Vektorräume [/mm] V = [mm] \IR_{\le 1}[/mm] [t], W = [mm] \IC [/mm] sowie L(V,W),
den [mm] \IR [/mm] - Vektorraum der linearen Abbildungen von V nach W. Weiter de finieren wir
[mm] L_{j} [/mm] : V [mm] \to [/mm] W; j = 1, 2, 3, 4 durch
[mm] L_{1}(at+b)= [/mm] a+ib , [mm] L_{2}(at+b)= [/mm] b+ia , [mm] L_{3}(at+b)= [/mm] a-ib , [mm] L_{4}(at+b)= [/mm] b-ai
(i) Zeigen Sie, dass [mm] B_{L} [/mm] := (L1, L2, L3, L4) eine Basis von L(V,W) ist.
(Tipp: Vergessen Sie nicht zu zeigen, dass [mm] L_{j} [/mm] , j = 1, 2, 3, 4 linear sind.)
(ii) Sei B1 := (1, t) sowie B2 := (1, i). Berechnen Sie
[mm] [L_{1}]^{B_{1}}_{B_{2}}, [L_{2}]^{B_{1}}_{B_{2}}, [L_{3}]^{B_{1}}_{B_{2}}, [L_{4}]^{B_{1}}_{B_{2}}
[/mm]
(iii) Betrachten Sie nun die lineare Abbildung G : L(V,W) [mm] \to \IR^{2,2}, [/mm] die eindeutig durch
[mm] G(L_{j}) [/mm] = [mm] [L_{5-j}]^{B_{1}}_{B_{2}}, [/mm] j = 1, 2, 3, 4
de finiert ist, und berechnen Sie [mm] [G]^{B_{L}}_{B_{3}},
[/mm]
wobei [mm] B_{3} [/mm] := [mm] (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) [/mm] die Standardbasis
des [mm] \IR^{2,2} [/mm] ist.
(iv) Als nächstes sei die lineare Abbildung H : [mm] \IR^{2,2} \to \IR_{\le1}[/mm] [t],
[mm] \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \mapsto [/mm] (a-d)t+(b-c) gegeben.
Berechnen Sie [mm] [H]^{B_3}_{B_{1}} [/mm] und [H [mm] \circ G]^{B_L}_{B_{1}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle zusammen,
Ich habe diese Hausaufgabe zu erledigen und komme an einigen Stellen nicht weiter und hoffe das ihr mich auf Fehler oder Schreibweisen hinweisen könnt.
Ich werde hier alle Ergebnisse präsentieren damit ihr da mal rüberschauen könnt.
Zu i)
Hier habe ich die Linearität und die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen.
Für die Lineare Unabhängigkeit habe ich nach einigem Umstellen
[mm] a(\lambda_{1}+\lambda_{3})+b(\lambda_{2}+\lambda_{4})+ia(\lambda_{2}-\lambda_{4})+ib(\lambda_{1}-\lambda_{3})=0 \Rightarrow \lambda_{j} [/mm] = 0, (j=1,2,3,4)
Also linear Unabhängig.
Die Lineariät lasse ich hier weg, um Platz zu sparen.
Nun muss noch [mm] B_{L} [/mm] darauf geprüft werden ob es ein Erzeugendensystem ist.
Hier besteht mein erstes Problem.
Mein Ansatz:
[mm] a(\lambda_{1}+\lambda_{3})+b(\lambda_{2}+\lambda_{4})+ia(\lambda_{2}-\lambda_{4})+ib(\lambda_{1}-\lambda_{3}) [/mm] = x+iy muss mindestens eine Lösung haben.
Wie stelle ich dies nun an? wenn ich versuche in einer Koeffizientenmatrix eine Lösung zu finden komme ich in eine Sackkasse und muss riesige Umstellungen vollführen.
Ist das wirklich der richtige Weg oder habe ich eine Nachweismöglichkeit für das Erzeugendensystem übersehen?
nun
ii)
Habe ich gelöst.
Meine Ergebnisse
[mm] [L_{1}]^{B_{1}}_{B_{2}}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] [L_{2}]^{B_{1}}_{B_{2}}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] [L_{3}]^{B_{1}}_{B_{2}}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] [L_{4}]^{B_{1}}_{B_{2}}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
[/mm]
Ist das soweit alles richtig?
zu iii)
Bei dieser Aufgabe bin ich mir sehr unsicher.
Ich habe sie folgendermaßen gelöst:
[mm] [G]^{B_{L}}_{B_{3}}= [a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}]
[/mm]
[mm] a_{1}=\phi_{B_{3}}\*G(L_{1})=\phi_{B_{3}}*\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] a_{2}=\phi_{B_{3}}\*G(L_{2})=\phi_{B_{3}}*\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] a_{3}=\phi_{B_{3}}\*G(L_{3})=\phi_{B_{3}}*\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] a_{4}=\phi_{B_{3}}\*G(L_{4})=\phi_{B_{3}}*\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] [G]^{B_{L}}_{B_{3}}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}
[/mm]
iv)
Hier habe ich [mm] [H]^{B_{3}}_{B_{1}} [/mm] wie schon in ii) berechnet.
Mein Ergebnis [mm] [H]^{B_{3}}_{B_{1}}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}
[/mm]
Ist das soweit richtig oder habe ich irgendwo einen gravierenden Denkfehler.
Nun zu der Verknüpfung.
Meine Idee:
Im Prinzip ist die Berechnung gleich mit der aus iii). Nur muss noch ein weiterses mal auf H angewendet werden.
also
[H [mm] \circ G]^{B_L}_{B_{1}}=[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}]
[/mm]
[mm] a_{1}=\Phi_{B_{1}} \* H(G(L_{1})=\Phi_{B_{1}} \* [/mm] H [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \Phi_{B_{1}} [/mm] * 1-(-1) [mm] \* [/mm] t = [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] a_{2}=\Phi_{B_{1}} \* H(G(L_{2})=\Phi_{B_{1}} \* [/mm] H [mm] \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \Phi_{B_{1}} [/mm] * 1-(-1) = [mm] \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] a_{3}=\Phi_{B_{1}} \* H(G(L_{3})=\Phi_{B_{1}} \* [/mm] H [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \Phi_{B_{1}} [/mm] * 1-1 [mm] \* [/mm] t = [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] a_{4}=\Phi_{B_{1}} \* H(G(L_{4})=\Phi_{B_{1}} \* [/mm] H [mm] \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \Phi_{B_{1}} [/mm] * 1-1 = [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
[/mm]
[H [mm] \circ G]^{B_L}_{B_{1}}= \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
[/mm]
Ich hoffe das es so richtig ist.
Danke schon einmal fürs rüberschauen. Wenn etwas bei der Rechnung unklar ist werde ich es noch einmal ausführlicher aufschreiben.
Ich entschuldige mich auch schon im vorraus für die Fehler, denn dies ist mein erster Post in diesem Forum.
mfg
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> Betrachten Sie den Körper [mm]\IR[/mm] und die [mm]\IR-Vektorräume[/mm] V =
> [mm]\IR_{\le 1}[/mm] [t], W = [mm]\IC[/mm] sowie L(V,W),
> den [mm]\IR[/mm] - Vektorraum der linearen Abbildungen von V nach W. Weiter de finieren wir
> [mm]L_{j}[/mm] : V [mm]\to[/mm] W; j = 1, 2, 3, 4 durch
>
> [mm]L_{1}(at+b)=[/mm] a+ib , [mm]L_{2}(at+b)=[/mm] b+ia , [mm]L_{3}(at+b)=[/mm] a-ib , [mm]L_{4}(at+b)=[/mm] b-ai
>
> (i) Zeigen Sie, dass [mm]B_{L}[/mm] := (L1, L2, L3, L4) eine Basis von L(V,W) ist.
> (Tipp: Vergessen Sie nicht zu zeigen, dass [mm]L_{j}[/mm] , j = 1, 2, 3, 4 linear sind.)
>
> (ii) Sei B1 := (1, t) sowie B2 := (1, i). Berechnen Sie
>
> [mm][L_{1}]^{B_{1}}_{B_{2}}, [L_{2}]^{B_{1}}_{B_{2}}, [L_{3}]^{B_{1}}_{B_{2}}, [L_{4}]^{B_{1}}_{B_{2}}[/mm]
>
> (iii) Betrachten Sie nun die lineare Abbildung G : L(V,W) [mm]\to \IR^{2,2},[/mm] die eindeutig durch
> [mm]G(L_{j})[/mm] = [mm][L_{5-j}]^{B_{1}}_{B_{2}},[/mm] j = 1, 2, 3, 4
>
> de finiert ist, und berechnen Sie [mm][G]^{B_{L}}_{B_{3}},[/mm]
> wobei [mm]B_{3}[/mm] := [mm](E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})[/mm] die Standardbasis
> des [mm]\IR^{2,2}[/mm] ist.
>
> (iv) Als nächstes sei die lineare Abbildung H : [mm]\IR^{2,2} \to \IR_{\le1}[/mm] [t],
>
> [mm]\begin{bmatrix} a & b \\ Rechnungen
c & d \end{bmatrix} \mapsto[/mm] (a-d)t+(b-c) gegeben.
> Berechnen Sie [mm][H]^{B_3}_{B_{1}}[/mm] und [H [mm]\circ G]^{B_L}_{B_{1}}[/mm]
>
>
>
> Zu i)
>
> Hier habe ich die Linearität und die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen.
>
> Für die Lineare Unabhängigkeit habe ich nach einigem Umstellen
>
> [mm]a(\lambda_{1}+\lambda_{3})+b(\lambda_{2}+\lambda_{4})+ia(\lambda_{2}-\lambda_{4})+ib(\lambda_{1}-\lambda_{3})=0 \Rightarrow \lambda_{j}[/mm] = 0, (j=1,2,3,4)
> Also linear Unabhängig.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du [mm] \lambda_j=0 [/mm] auf dem richtigen Weg gefunden hast.
So, wie es im Moment dasteht, erschließt sich die Folgerung nicht.
Ich sehe hier im Moment lediglich:
... ==> [mm] a(\lambda_{1}+\lambda_{3})+b(\lambda_{2}+\lambda_{4})=0 [/mm] und [mm] a(\lambda_{2}-\lambda_{4})+b(\lambda_{1}-\lambda_{3})=0
[/mm]
Vielleicht schreibst Du das, was Du getan hast, sicherheitshalber mal richtig ausführlich auf, mit "für alle" und "es existiert" - was ja zu Deinem Namen paßt.
>
> Die Lineariät lasse ich hier weg, um Platz zu sparen.
Ja. Diese zu zeigen ist wirklich einfach.
>
> Nun muss noch [mm]B_{L}[/mm] darauf geprüft werden ob es ein Erzeugendensystem ist.
>
> Hier besteht mein erstes Problem.
>
> Mein Ansatz:
> [mm]a(\lambda_{1}+\lambda_{3})+b(\lambda_{2}+\lambda_{4})+ia(\lambda_{2}-\lambda_{4})+ib(\lambda_{1}-\lambda_{3})[/mm] = x+iy muss mindestens eine Lösung haben.
Ich denke, daß Dein Problem hier ungefähr in der Ecke angesiedelt ist, in welcher ich auch ein Problem beim Nachweis der linearen Unabhängigkeit vermute.
Du möchtest zeigen, daß man jede lineare Abbildung aus dem V in den W schreiben kann als Linearkombination der vier [mm] \lambda_i.
[/mm]
Sei [mm] f\in [/mm] L(V,W).
Jetzt überlegen wir erstmal, wie solch ein f aussieht.
Es ist eine Lineare Abbildung, also durch die Angabe der Werte auf einer Basis, etwa auf [mm] B_1=(1,t) [/mm] eindeutig bestimmt.
Jedes der beiden Basiselemente hat als Funktionswert eine komplexe Zahl.
Es gibt also [mm] c_i, d_i\in \IR [/mm] mit
[mm] f(1):=c_1+c_2*i
[/mm]
[mm] f(t):=d_1+d_2*i.
[/mm]
Dann ist [mm] f(at+b)=(ad_1+bc_1)+(ad_2+bc_2)*i.
[/mm]
Soviel vorweg.
Wir stellen uns nun die Frage, ob man f schreiben kann als Linearkombination der [mm] L_i, [/mm] ob es also reelle Zahlen [mm] \lambda_i [/mm] gibt, so daß gilt:
[mm] \lambda_1L_1+\lambda_2L_2+\lambda_3L_3+\lambda_4L_4=f.
[/mm]
Wir haben an dieser Stelle die Gleichheit von Funktionen vorliegen.
Jetzt kommt etwas Wichtiges: wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn ihre Funktionwerte an jeder Stelle übereinstimmen.
[mm] (\*)Aha! [/mm] Es muß also für alle [mm] a,b\in \IR [/mm] gelten
[mm] \lambda_1L_1(at+b)+\lambda_2L_2(at+b)+\lambda_3L_3(at+b)+\lambda_4L_4(at+b)=f(at+b).
[/mm]
Wenn dies für alle [mm] a,b\in \IR [/mm] gilt, gilt es natürlich insbesondere für die Kombinationen (a.b)=(1,0) und (a,b)=(0,1).
Es folgt also
... (zwei Gleichungen, aus denen Du die gesuchten Koeffizienten bekommen solltest.)
An der Stelle [mm] (\*) [/mm] kannst Du auch so weitermachen: rechte und linke Seite stimmen auf der Basis [mm] B_1 [/mm] überein.
>
> Ist das wirklich der richtige Weg oder habe ich eine Nachweismöglichkeit für das Erzeugendensystem übersehen?
Nehmen wir an, Du hst die Linear Unabhängigkeit der [mm] L_i [/mm] gezeigt.
Wenn Du weißt, daß der fragliche Raum die Dimension 4 hat, z.B. weil Du eine sehr einfache Basis dieses Raumes kennst oder in der Vorlesung besprochen würde, welche Dim der Vektorraum hat, der aus den Linearen Abbildungen von V nach W besteht, dann bist Du auch fertig.
>
> nun
> ii)
>
> Habe ich gelöst.
>
> Meine Ergebnisse
> [mm][L_{1}]^{B_{1}}_{B_{2}}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\
1 & 0 \end{bmatrix}[/mm]
> [mm][L_{2}]^{B_{1}}_{B_{2}}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}[/mm]
> [mm][L_{3}]^{B_{1}}_{B_{2}}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\
-1 & 0 \end{bmatrix}[/mm]
> [mm][L_{4}]^{B_{1}}_{B_{2}}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & -1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Ist das soweit alles richtig?
Ja.
>
> zu iii)
>
> Bei dieser Aufgabe bin ich mir sehr unsicher.
> Ich habe sie folgendermaßen gelöst:
>
> [mm][G]^{B_{L}}_{B_{3}}= [a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}][/mm]
>
> [mm]a_{1}=\phi_{B_{3}}\*G(L_{1})=\phi_{B_{3}}*\begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\
0 \\
0 \\
-1 \end{bmatrix}[/mm]
> [mm]a_{2}=\phi_{B_{3}}\*G(L_{2})=\phi_{B_{3}}*\begin{bmatrix} 0 & 1 \\
-1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\
1 \\
-1 \\
0 \end{bmatrix}[/mm]
> [mm]a_{3}=\phi_{B_{3}}\*G(L_{3})=\phi_{B_{3}}*\begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\
0 \\
0 \\
1 \end{bmatrix}[/mm]
> [mm]a_{4}=\phi_{B_{3}}\*G(L_{4})=\phi_{B_{3}}*\begin{bmatrix} 0 & 1 \\
1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\
1 \\
1 \\
0 \end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm][G]^{B_{L}}_{B_{3}}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}[/mm]
Diese Matrix ist richtig.
Ich nehme mal an, daß Dein [mm] \phi_{B_3} [/mm] die Koordinatenabbildung sein soll, und daß Du nicht
[mm] \phi_3\red{\*}G(L_i) [/mm] meintest, sondern [mm] \phi_{B_3}(G(L_i)).
[/mm]
>
>
>
> iv)
>
> Hier habe ich [mm][H]^{B_{3}}_{B_{1}}[/mm] wie schon in ii) berechnet.
>
> Mein Ergebnis [mm][H]^{B_{3}}_{B_{1}}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig oder habe ich irgendwo einen gravierenden Denkfehler.
Es ist richtig.
>
> Nun zu der Verknüpfung.
>
> Meine Idee:
> Im Prinzip ist die Berechnung gleich mit der aus iii). Nur muss noch ein weiterses mal auf H angewendet werden.
>
> also
>
> [H [mm]\circ G]^{B_L}_{B_{1}}=[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}][/mm]
>
> [mm]a_{1}=\Phi_{B_{1}} \* H(G(L_{1})=\Phi_{B_{1}} \*[/mm] H [mm]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & -1 \end{bmatrix}[/mm] = [mm]\Phi_{B_{1}}[/mm] * 1-(-1) [mm]\*[/mm] t = [mm]\begin{bmatrix} 0 \\
2 \end{bmatrix}[/mm]
> [mm]a_{2}=\Phi_{B_{1}} \* H(G(L_{2})=\Phi_{B_{1}} \*[/mm] H [mm]\begin{bmatrix} 0 & 1 \\
-1 & 0 \end{bmatrix}[/mm] = [mm]\Phi_{B_{1}}[/mm] * 1-(-1) = [mm]\begin{bmatrix} 2 \\
0 \end{bmatrix}[/mm]
> [mm]a_{3}=\Phi_{B_{1}} \* H(G(L_{3})=\Phi_{B_{1}} \*[/mm] H [mm]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}[/mm] = [mm]\Phi_{B_{1}}[/mm] * 1-1 [mm]\*[/mm] t = [mm]\begin{bmatrix} 0 \\
0 \end{bmatrix}[/mm]
> [mm]a_{4}=\Phi_{B_{1}} \* H(G(L_{4})=\Phi_{B_{1}} \*[/mm] H [mm]\begin{bmatrix} 0 & 1 \\
1 & 0 \end{bmatrix}[/mm] = [mm]\Phi_{B_{1}}[/mm] * 1-1 = [mm]\begin{bmatrix} 0 \\
0 \end{bmatrix}[/mm]
>
>
> [H [mm]\circ G]^{B_L}_{B_{1}}= \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Ich hoffe das es so richtig ist.
Ja.
Du hättest es auch bekommen können aus [mm] [H\circ G]^{B_L}_{B_{1}}=[H]^{B_3}_{B_{1}}*[G]^{B_L}_{B_{3}}
[/mm]
>
> Ich entschuldige mich auch schon im vorraus für die Fehler, denn dies ist mein erster Post in diesem Forum.
Dein Post ist perfekt: die Formeln sind gut lesbar, der Text ist verständlich, Dein Tun nachvollziehbar.
Manch ein User, der hier schon viele Posts geschrieben hat, könnte von Dir lernen...
Gruß v. Angela
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Ok dankesehr für die schnelle Antwort :)
Es hat mir sehr geholfen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Do 20.01.2011 | | Autor: | dimi727 |
Hallo,
ich komme bei i) nicht voran. Den Rest habe ich fast genauso hinbekommen.
Es geht um den Nachweis, ob BL eine Basis von L(V,W) ist.
Dazu muss ich ja nachweisen,dass
1. BL ein EZS ist
2. L1,L2,L3,L4 linear unabhängig sind
Dafür habe ich die Ansätze :
1. [mm] \lambda1*L1 [/mm] + [mm] \lambda2*L2 [/mm] + [mm] \lambda3*L3 [/mm] + [mm] \lambda4*L4 [/mm] = L , wobei L beliebige Abbildung von [mm] \IR<=1[/mm] [t] nach [mm] \IC [/mm] ist
und
2. [mm] \lambda1*L1 [/mm] + [mm] \lambda2*L2 [/mm] + [mm] \lambda3*L3 [/mm] + [mm] \lambda4*L4 [/mm] = 0
Wie soll ich nun hiermit rechnen? Explizite Beispiele wie L1(at+b) darf ich nicht benutzen,da es ja nicht allgemein ist.
Aber wie sonst?
Es gibt ja diesen Hinweis mit der Dimension von L(V,W),die gleich 4 ist (?), und dimensionen von V und W, was beides 2 ist. Wie errechne ich aus den DImensionen von V und W nun die Dimension von L?
Desweiteren soll man ja irgendwie die Linearität der L1,..,L4 benutzen.
Aber was nun?
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> Hallo,
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> ich komme bei i) nicht voran. Den Rest habe ich fast
> genauso hinbekommen.
>
> Es geht um den Nachweis, ob BL eine Basis von L(V,W) ist.
>
> Dazu muss ich ja nachweisen,dass
>
> 1. BL ein EZS ist
> 2. L1,L2,L3,L4 linear unabhängig sind
Hallo,
.
Im Prinzip mußt Du diese beiden Punkte zeigen.
Wenn Du aber weißt aus der VL oder sonstwo her, daß dimL(V,W)=dimW*dimV=4, dann brauchst Du nur eines von beiden zu zeigen.
Du kannst Dir mal überlegen, daß die 4 linearen Abbildungen [mm] F_1, ...,F_4, [/mm] die durch
[mm] F_1(1):=1 \qquad \qquad F_2(1)=0\qquad \qquad F_3(1)=i\qquad \qquad F_4(1)=0
[/mm]
[mm] F_1(t):=0\qquad \qquad F_2(t):=1\qquad \qquad F_3(t):=0\qquad \qquad F_4(t):=i
[/mm]
definiert sind,
eine Basis des L(V,W) sind.
Nun aber zu Deinem eigentlichen Problem, zu den Nachweisen, die Du für die [mm] L_i [/mm] führen willst.
Eigentlich war ich darauf in meiner Antwort im Zusammenhang mit "Erzeugendensystem" recht ausführlich eingegangen, die Problematik bei der linearen Unabhängigkeit ist ähnlich.
Ich werde mich hier auf die lineare Unabhängigkeit beschränken, zum Erzeugendensystem studiere das, was ich in der anderen Antwort schrieb, gründlich.
>
> Dafür habe ich die Ansätze :
Es seien [mm] \lambda_i\in \IR [/mm] mit
> 2. [mm]\lambda1*L1[/mm] + [mm]\lambda2*L2[/mm] + [mm]\lambda3*L3[/mm] + [mm]\lambda4*L4[/mm] = [mm] 0_{(L(V,W)}.
[/mm]
Hieraus möchtest Du folgern, daß die [mm] \lambda_i [/mm] allesamt =0 sind.
Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Summe von Funktionen, also eine Funktion, dementsprechend steht rechts auch eine Funktion, nämlich die Null in L(V,W), also die Funktion, welche jedes Element von V auf die Null in W, =_W, abbildet.
Kurz gesagt: wir haben die Gleichheit zweier Funktionen.
Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn sie auf dem ganzen definitionsbereich übereinstimmen.
Es gilt also für alle [mm] at+b\in [/mm] V
[mm] $(\lambda_1*L_1$ [/mm] + [mm] $\lambda_2*L_2$ [/mm] + [mm] $\lambda_3*L_3$ [/mm] + [mm] $\lambda_4*L_4)(at+b)$ [/mm] = [mm] 0_{(L(V,W)}(at+b)
[/mm]
<==>
für alle [mm] a,b\in \IR [/mm] ist
[mm] $(\lambda_1*L_1$ [/mm] + [mm] $\lambda_2*L_2$ [/mm] + [mm] $\lambda_3*L_3$ [/mm] + [mm] $\lambda_4*L_4)(at+b)$ [/mm] = [mm] 0_{(L(V,W)}(at+b)
[/mm]
<==>
für alle [mm] a,b\in \IR [/mm] ist
[mm] $(\lambda_1*L_1)(at+b)$ [/mm] + [mm] $(\lambda_2*L_2)(at+b)$ [/mm] + [mm] $(\lambda_3*L_3)(at+b)$ [/mm] + [mm] $(\lambda_4*L_4)(at+b)$ [/mm] = [mm] 0_{(L(V,W)}(at+b)
[/mm]
<==>
für alle [mm] a,b\in \IR [/mm] ist
[mm] \lambda_1(a+ib)+\lambda_2(b+ia)+\lambda_3(a-ib)+\lambda_4(b-ia)=0_W
[/mm]
Jetzt kommt eine wichtiger Gedanke:
da die Gleichung für alle [mm] a,b\in \IR [/mm] gilt, gilt sie insbesondere auch für Kombinationen von a und b, die mir aus irgendeinem Grunde gut gefallen. Ich wähle hier natürlich solche Kombinationen, die für mich nützlich sind.
Es gilt obige Gleichung also auch, wenn ich (a,b)=(1,0) und (a,b)=(0,1) wähle.
==>
Es ist
[mm] \lambda_1(*1+\lambda_2*i+\lambda_3*1+\lambda_4*(-i)=0_W
[/mm]
und
[mm] \lambda_1*i+\lambda_2*1+\lambda_3*(-i)+\lambda_4*1=0_W
[/mm]
Sortiere nun in beiden Gleichungen nach Vielfachen von 1 und Vielfachen von i, und mach dann einen Koeffizientenvergleich.
Dies liefert Dir ein LGS mit 4 Gleichungen in den Variablen [mm] \lambda_i, [/mm] welches Du anschließend auflösen kannst mit dem Ergebnis [mm] \lambda_i=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Fr 21.01.2011 | | Autor: | dimi727 |
Danke, hab zwar schon abgegeben, aber bis zu der Zeile, wo du die Funktionen gleichsetzt, habe ich auch alles soweit gemacht.
Leider waren meine Umformungen dann etwas anders , wobei ich dort auch zu dem Schluss gekommen bin,dass die Elemente lin. unab. sind.
Gruss Dimi727
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