Basiswechselmatrix, Äquivalent < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Mo 28.12.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zwei matrizen A,B [mm] \in M_{m\times n} (\mathbb{K}) [/mm] werden äquivalent genannt, falls invertierbare Matrizen S [mm] \in GL_n(\mathbb{K}) [/mm] und T [mm] \in GL_m(\mathbb{K}) [/mm] existieren, sodass B=TAS
Frage:
Wenn A und B äquivalent sind. Warum existieren dann Basen C von [mm] \mathbb{K}^m [/mm] und D von [mm] \mathbb{K}^n [/mm] , sodass [mm] B=[\psi_A]_{DC} [/mm] wobei [mm] \psi_A [/mm] die lineare Abbildung [mm] \psi_A:\mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m [/mm] , [mm] \psi_A(x)=Ax [/mm] bezeichnet? |
Hallo,
Zwecks Nachhilfe wiederhole ich gerade paar Dinge der Einführung in die Linearen Algebra. Ich erinnere mich nicht mehr wie das genau ging:
Da A und B äquivalent sind [mm] \exists [/mm] S [mm] \in GL_n(\mathbb{K}) [/mm] ,U [mm] \in GL_m(\mathbb{K}): [/mm] B=U*A*S
Da S,U invertierbar sind, sind die Spalten der Matrizen jeweils eine Basis von [mm] \mathbb{K}^n [/mm] bzw. [mm] \mathbb{K}^m.
[/mm]
Ich bezeichne mit [mm] T_{EU} [/mm] die Basiswechselmatrix von U nach E.
[mm] E=(e_1,..,e_n) [/mm] sei die Standartbasis so ist [mm] T_{EU}=U, T_{ES}=S
[/mm]
[mm] [\psi_A]_{EE}=A
[/mm]
[mm] B=T_{EU} [/mm] A [mm] T_{ES}= T_{EU} [\psi_A]_{EE} T_{ES}
[/mm]
Aber da ist die linke Basiswechselmatrix verdreht...Denn die Formel im Skript ist allgemein [mm] [\phi]_{IO}=T_{IG} [\phi]_{GH} T_{HO} [/mm] für eine Abbildung [mm] \phi:V\rightarrow [/mm] W mit O,H zwei Basen von V und I,G zwei Basen von W
Liebe Grüße,
sissi
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> Zwei matrizen A,B [mm]\in M_{m\times n} (\mathbb{K})[/mm] werden
> äquivalent genannt, falls invertierbare Matrizen S [mm]\in GL_n(\mathbb{K})[/mm]
> und T [mm]\in GL_m(\mathbb{K})[/mm] existieren, sodass B=TAS
> Frage:
> Wenn A und B äquivalent sind. Warum existieren dann Basen
> C von [mm]\mathbb{K}^m[/mm] und D von [mm]\mathbb{K}^n[/mm] , sodass
> [mm]B=[\psi_A]_{DC}[/mm] wobei [mm]\psi_A[/mm] die lineare Abbildung
> [mm]\psi_A:\mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m[/mm] , [mm]\psi_A(x)=Ax[/mm]
> bezeichnet?
> Hallo,
> Zwecks Nachhilfe wiederhole ich gerade paar Dinge der
> Einführung in die Linearen Algebra. Ich erinnere mich
> nicht mehr wie das genau ging:
>
Hallo,
ich hoffe, meine Antwort trifft Deine Frage.
Du hast ja selbst schon gemerkt, daß etwas "verdreht" ist.
Seien also A, B äquivalente [mm] m\times [/mm] n-Matrizen.
> Da A und B äquivalent sind [mm]\exists[/mm] S [mm]\in GL_n(\mathbb{K})[/mm]
> ,U [mm]\in GL_m(\mathbb{K}):[/mm] B=U*A*S
Fassen wir nun A auf als Matrix, die die Abbildung [mm] \psi_A: K^n\to K^m [/mm] bzgl. der Standardbasen [mm] E_n [/mm] und [mm] E_m [/mm] des [mm] K^n [/mm] bzw. [mm] K^m [/mm] beschreibt,
also [mm] A=[\psi_A]_{E_mE_n}=A. [/mm]
> Da S,U invertierbar sind,
können wir sie als Basiswechselmatrizen auffassen.
Weiter gibt es eine Matrix U' so, daß [mm] (U')^{-1}=U.
[/mm]
Sei nun [mm] B_S [/mm] die Basis des [mm] K^n, [/mm] die von den Spalten von S gebildet wird,
[mm] B_{U'} [/mm] die Basis des [mm] K^m, [/mm] welche von den Spalten von U' gebildet wird.
Dann beschreibt
[mm] B=U*A*S=(U')^{-1}AS
[/mm]
die Abbildung [mm] \psi_A [/mm] bzgl. der Basen [mm] B_S [/mm] und [mm] B_{U'}:
[/mm]
S wandelt Vektoren, die in Koordinaten bzgl [mm] B_S [/mm] gegeben sind, in solche bzgl. [mm] E_n [/mm] um, also [mm] S=T_{E_nB_S}
[/mm]
A liefert ihr Bild unter [mm] \psi_A [/mm] in Koordinaten bzgl [mm] E_m, [/mm] ( [mm] [\psi_A]_{E_mE_n}),
[/mm]
und [mm] U=(U')^{-1}=(T_{E_mU'})^{-1}=T_{U'E_m} [/mm] macht aus diesen Vektoren bzgl. [mm] K^m [/mm] dann solche, die in Koordinaten bzgl. U' sind.
Dein Denkfehler war, daß die Spalten von U direkt die Basis bilden, die hier als Basis des Bildraumes im Spiel ist.
LG Angela
> sind die Spalten der Matrizen
> jeweils eine Basis von [mm]\mathbb{K}^n[/mm] bzw. [mm]\mathbb{K}^m.[/mm]
> Ich bezeichne mit [mm]T_{EU}[/mm] die Basiswechselmatrix von U nach
> E.
>
> [mm]E=(e_1,..,e_n)[/mm] sei die Standartbasis so ist [mm]T_{EU}=U, T_{ES}=S[/mm]
>
> [mm][\psi_A]_{EE}=A[/mm]
> [mm]B=T_{EU}[/mm] A [mm]T_{ES}= T_{EU} [\psi_A]_{EE} T_{ES}[/mm]
> Aber da
> ist die linke Basiswechselmatrix verdreht...Denn die Formel
> im Skript ist allgemein [mm][\phi]_{IO}=T_{IG} [\phi]_{GH} T_{HO}[/mm]
> für eine Abbildung [mm]\phi:V\rightarrow[/mm] W mit O,H zwei Basen
> von V und I,G zwei Basen von W
>
> Liebe Grüße,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Di 29.12.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo
Vielen lieben Dank! Genau dass war der Fehler.
Noch eine andere Frage:
Es steht die folgenden Aussagen sind äquivalent für A,B [mm] \in M_{m\times n} (\mathbb{K}):
[/mm]
i) A und B sind äquivalent
ii) B lässt sich aus A durch Zeilen- und Spaltenumformungen gewinnen.
Mir ist klar, dass aus ii) [mm] \Rightarrow [/mm] i) folgt, denn Zeilen- und Spaltenumformungen sind nichts anderes als Multiplikationen mit invertierbaren Matrizen von rechts bzw. von links, diese fasst man dann zusammen und erhält jeweils eine invertierbare Matrix.
Aber warum folgt auch i) [mm] \Rightarrow [/mm] ii)? Spalten und Zeilenumformungen werden doch beschrieben durch invertierbare Matrizen einer speziellen Gestalt. Warum kann ich mit diesen jede invertierbare Matrix bilden?
LG,
Sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Di 29.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> Vielen lieben Dank! Genau dass war der Fehler.
>
> Noch eine andere Frage:
> Es steht die folgenden Aussagen sind äquivalent für A,B
> [mm]\in M_{m\times n} (\mathbb{K}):[/mm]
> i) A und B sind
> äquivalent
> ii) B lässt sich aus A durch Zeilen- und
> Spaltenumformungen gewinnen.
>
> Mir ist klar, dass aus ii) [mm]\Rightarrow[/mm] i) folgt, denn
> Zeilen- und Spaltenumformungen sind nichts anderes als
> Multiplikationen mit invertierbaren Matrizen von rechts
> bzw. von links, diese fasst man dann zusammen und erhält
> jeweils eine invertierbare Matrix.
> Aber warum folgt auch i) [mm]\Rightarrow[/mm] ii)? Spalten und
> Zeilenumformungen werden doch beschrieben durch
> invertierbare Matrizen einer speziellen Gestalt. Warum kann
> ich mit diesen jede invertierbare Matrix bilden?
>
> LG,
> Sissi
Jede invertierbare Matrix lässt sich als Produkt von Elementarmatrizen schreiben !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Mi 30.12.2015 | | Autor: | sissile |
Ahja danke ;)
LG,
sissi
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