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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 So 13.11.2005 | | Autor: | DjBriX |
Aufgabe 1
Für alle a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] zeige man:
(ab + [mm] cd)^2 \le (a^2+c^2)(b^2+ d^2)
[/mm]
Unter welcher Bedingung gilt Gleichheit?
Aufgabe 2
Für alle a,b [mm] \in \IR [/mm] gilt:
|a + b|+|a - b| [mm] \ge [/mm] |a|+|b|
Unter welcher Bedingung gilt Gleichheit?
Aufgabe 3
Zeige, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 4 gilt:
[mm] n^2 \le 2^n
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein derzeitiger Stand:
Aufgabe 1:
Ausmultipliziert, dann habe ich [mm] a^2 b^2 [/mm] und [mm] c^2 d^2 [/mm] auf beiden seiten stehen und letztendlich dann: 2abcd [mm] \le a^2 d^2 [/mm] + [mm] c^2 b^2 [/mm] Ab dann wiß ich nit weiter.
Aufgabe 2:
ich weiß das |a+b| [mm] \le [/mm] |a| + |b|
und das |a-b| [mm] \le [/mm] |a+b| , dann absolut keine Ahnung
Aufgabe 3:
Induktions Anfang n->4
[mm] 4^2 \le 2^4
[/mm]
16 [mm] \le [/mm] 16 -> 16 = 16
Induktionsschritt:
n -> n+1
[mm] n^2 [/mm] + 2n + 2 [mm] \le 2^n [/mm] + 2 --> Weiß schon nicht ob das richtig ist, und keine Ahnug ab da.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 So 13.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo DjBriX,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
wie sieht es denn mit einem kurzen "Hallo" und eigenen Lösungsansätzen aus?
> Aufgabe 1
> Für alle a,b,c,d [mm]\in \IR[/mm] zeige man: [mm](ab + cd)^2 \le (a^2+c^2)(b^2+ d^2)[/mm]
> Unter welcher Bedingung gilt Gleichheit?
Multipliziere diese Klammern mal aus und fasse zusammen.
> Aufgabe 3
> Zeige, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 4 gilt: [mm]n^2 \le 2^n[/mm]
Hier musst Du diese Beziehung mit vollständiger Induktion zeigen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 So 13.11.2005 | | Autor: | DjBriX |
Ich komm absolut nicht weiter, wenn es möglich wäre bräuchte ich so gut wie möglich die Lösung. Mache jetzt kurz Pause. Setze mich nachher wieder dran. Am besten wäre ne Lösung anhand ich das ganze dann Nachvollziehen könnte.
Danke Im Vorraus
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Hallo Brix,
> Aufgabe 1
> Für alle a,b,c,d [mm]\in \IR[/mm] zeige man:
> (ab + [mm]cd)^2 \le (a^2+c^2)(b^2+ d^2)[/mm]
> Unter welcher
> Bedingung gilt Gleichheit?
> Mein derzeitiger Stand:
> Aufgabe 1:
> Ausmultipliziert, dann habe ich [mm]a^2 b^2[/mm] und [mm]c^2 d^2[/mm] auf
> beiden seiten stehen und letztendlich dann: 2abcd [mm]\le a^2 d^2[/mm]
> + [mm]c^2 b^2[/mm] Ab dann wiß ich nit weiter.
teile durch abcd unter der Voraussetzung [mm] \not= [/mm] 0, dann hast Du eine Ungleichung der Form 2 [mm] \le [/mm] x + 1/x also 0 [mm] \le [/mm] x² -2x +1 = (x-1)²
Zu Aufgabe 2 mach mal eine Fallunterscheidung:
a,b > 0 läuft auf's selbe hinaus wie a,b < 0
ebenso a < 0 , b > 0 und a > 0 , b < 0 .
> Aufgabe 3
> Zeige, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 4 gilt:
> [mm]n^2 \le 2^n[/mm]
> Induktions Anfang n->4
> [mm]4^2 \le 2^4[/mm]
> 16 [mm]\le[/mm] 16 -> 16 = 16
> Induktionsschritt:
> n -> n+1
> [mm]n^2[/mm] + 2n + 2 [mm]\le 2^n[/mm] + 2 --> Weiß schon nicht ob das
> richtig ist, und keine Ahnug ab da.
[mm]n^2[/mm] + 2n + 1 [mm]\le 2^n[/mm] * 2
2n+1 < n² wäre jetzt zu zeigen für n > 2, dann folgt nach Induktionsvoraussetzung:
[mm](n+1)² = n^2[/mm] + 2n + 1 < n² + n² = 2*n² [mm] \le 2*2^{n} [/mm] = [mm] 2^{n+1}
[/mm]
Gruß, Richard
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