Bedeutung gemischte Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Sa 16.12.2006 | | Autor: | tanita26 |
Hallo,
habe eine Frage zur gemischten Ableitung. Ich habe eine Produktionsfunktion
Q= (H,K) + eine Nebenbedingung.
H steht fuer Arbeit, K fuer Kapital und Q fuer Output.
Mit dem Lagrangeansatz wird die Outputmaximierung berechnet.
Es wird dann unter anderem einmal nach H und dieses Ergebnis dann noch nach K abgeleitet (gemischte Ableitung). Mir ist klar das die zweite Ableitung die Steigung von der Steigung ist. Ich moechte das ganze aber gerne in wirtschaftllichen Worten erklaert bekommen. Wie z.B. das die erste Ableitung nach H bedeutet: wie veraendert sich der Ouput wenn sich H um 1 Einheit erhoeht.
Und warum wird ueberhaupt gemischt abgeleitet?
Waere toll, wenn mir jemand das erklaeren koennte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tanita,
ich kann leider nicht nachvollziehen, was du genau meinst. Normalerweise berechnet man beim lagrange-verfahren nur erste ableitungen, nämlich den gradienten der zu maximierenden funktion sowie den gradienten der nebenbedingung(en). Wo siehst du hier gemischte ableitungen?
Gruß
Matthias
> Hallo,
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> habe eine Frage zur gemischten Ableitung. Ich habe eine
> Produktionsfunktion
> Q= (H,K) + eine Nebenbedingung.
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> H steht fuer Arbeit, K fuer Kapital und Q fuer Output.
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> Mit dem Lagrangeansatz wird die Outputmaximierung
> berechnet.
>
> Es wird dann unter anderem einmal nach H und dieses
> Ergebnis dann noch nach K abgeleitet (gemischte Ableitung).
> Mir ist klar das die zweite Ableitung die Steigung von der
> Steigung ist. Ich moechte das ganze aber gerne in
> wirtschaftllichen Worten erklaert bekommen. Wie z.B. das
> die erste Ableitung nach H bedeutet: wie veraendert sich
> der Ouput wenn sich H um 1 Einheit erhoeht.
> Und warum wird ueberhaupt gemischt abgeleitet?
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> Waere toll, wenn mir jemand das erklaeren koennte.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 So 17.12.2006 | | Autor: | tanita26 |
Hallo,
erst einmal Danke fuer deine schnelle Antwort.
Ergaenzend noch zur Aufgabe NB: B = w*H + r*K
Bedinung 1. Ordung
[mm] Q_{H} [/mm] - λ*w = 0 (wenn man nach H abgleitet)
[mm] Q_{K} [/mm] - λ*r = 0 ( " " " K abgleitet)
B - w*H - r*K = 0( " " " λ abgeleitet)
Bedingung 2. Ordung
D= [mm] \pmat{ Q_{HH} & Q_{HK} & -w \\ Q_{KH} & Q_{KK} & -r \\ -w & -r & 0 }
[/mm]
ich hoffe es ist jetzt verstaendlicher. Mir geht es nur um die Erklaerung von [mm] Q_{HK}
[/mm]
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Hallo Tanita,
OK, jetzt weiß ich, was Du meinst. Deine ganz konkrete Frage nach der anschaulichen bedeutung zweiter, gemischter ableitungen kann ich wohl nicht beantworten, aber vielleicht kann ich dir ein bißchen von der mathematik dahinter vermitteln.
unter 2.ableitungen im 1-dimensionalen kannst du dir schon etwas vorstellen, oder? das ist die steigung der ableitung und damit so etwas wie eine tiefer liegende tendenz. Nimm das Beispiel Inflation: angenommen, die ist in einem Monat 3,8%. Die Inflation ist so etwas wie die erste ableitung des preisniveaus (sorry, ich bin wirtschafts-laie...  ) Es ist aber jetzt interessant zu wissen, ob die inflation im vormonat 2% war oder 7%, denn im einen fall hat man eine steigende im anderen eine fallende inflation, also eine positive oder negative zweite ableitung des preisniveaus.
um jetzt wieder mathematischer zu werden: positive zweite ableitungen bedeuten meist so etwas wie konvexität der funktion (nimm das einfache beispiel [mm] $f(x)=x^2$). [/mm] Konvexe funktionen haben eine besondere bedeutung in optimierungsproblemen, da für sie lokale minima immer auch global sind.
Anhand der Taylorformel (schon mal gehört?) kann man differenzierbare funktionen lokal durch die werte ihrer ableitungen in einem bestimmten punkt approximieren. Je höhere ableitungen man dabei berücksichtigt, desto besser ist die approximation. Aus der Taylorformel kann man auch die bekannten kriterien für das vorliegen von extremwertem herleiten, also verschwinden der ersten ableitung und positivität oder negativität der zweiten ableitung.
Nun noch mal zu deiner frage: für mehrdimensionale funktionen gehören zur zweiten ableitung nun mal auch gemischte ableitungen... denn sie beschreiben in einem subtilen sinne (siehe beispiel oben) auch das tendenzielle verhalten der ausgangsfunktion.
Hoffe, habe dir ein bißchen weitergeholfen... 
Gruß
Matthias
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