Bedingt Konvergent Umordnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wenn [mm] \sum_{k=1}^\infty a_k [/mm] bedingt konvergiert dann [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR: [/mm] exists [mm] \tau: \IN->\IN [/mm] bijektiv so dass [mm] \sum_{l=1}^\infty a_{\tau(l)} [/mm] <= x (alles erreichen kann) |
Da bedingte Konvergenzen vorrausgestzt ist konvergiert die Summe der Beträge -> [mm] \infty.
[/mm]
ANg.:
[mm] a_{2l} \ge [/mm] 0
[mm] a_{2l+1} \le [/mm] 0
[mm] \sum_{l=1}^\infty a_{2l} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \sum_{l=1}^\infty a_{2l+1} [/mm] = - [mm] \infty [/mm] und [mm] \sum_{l=1}^\infty |a_{2l+1}| [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Die gesmate Summe konvergiert aber bedingt, die Summe der Glieder nähern sich also einen x an.
Wie kann ich weiter machen?
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Hiho,
> Da bedingte Konvergenzen vorrausgestzt ist konvergiert die
> Summe der Beträge -> [mm]\infty.[/mm]
ergo: Sie divergiert.
> ANg.:
> [mm]a_{2l} \ge[/mm] 0
> [mm]a_{2l+1} \le[/mm] 0
und was wenn nicht?
Mach dir klar, dass folgendes für eine konvergente Reihe gelten muss, die nicht absolut konvergent ist:
Sei
$a^+_n = [mm] \max\{0,a_n\}$ [/mm] d.h. die nichtnegativen Folgenglieder
$a^-_n = [mm] \min\{0,a_n\}$ [/mm] d.h. die nichtpositiven Folgenglieder
i) [mm] $\summe_n [/mm] a^+_n = [mm] +\infty$, [/mm] d.h. die Summe der nichtnegativen Folgenglieder divergiert
ii) [mm] $\summe_n [/mm] a^-_n = [mm] -\infty$, [/mm] d.h. die Summe der nichtpositiven Folgenglieder divergiert
iii) [mm] $a_n \to [/mm] 0, a^+_n [mm] \to [/mm] 0, a^-_n [mm] \to [/mm] 0$
Nun musst du nur folgendes Prinzip in Worte fassen: Nimm solange Elemente aus $a^+_n$ bis die Summe größer als x ist.
Dann nimm solange Elemente aus $a^-_n$ bis die Summe wieder kleiner als x ist.
Was gilt dann für die entstehende Summe?
MFG,
Gono.
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Hallo
> $ [mm] a_n \to [/mm] 0, a^+_n [mm] \to [/mm] 0, a^-_n [mm] \to [/mm] 0 $
[mm] a_n [/mm] -> 0 heißt doch, dass die reihe nicht konvergiert.
, aber wieso müssen auch die nichtnegativen bzw. nichtpositiven Glieder gegen 0 konvergieren?
> Nun musst du nur folgendes Prinzip in Worte fassen: Nimm solange Elemente aus $ a^+_n $ bis die Summe größer als x ist.
> Dann nimm solange Elemente aus $ a^-_n $ bis die Summe wieder kleiner als x ist.
> Was gilt dann für die entstehende Summe?
Das die SUmme nach x konvergiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mo 27.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> > [mm]a_n \to 0, a^+_n \to 0, a^-_n \to 0[/mm]
> [mm]a_n[/mm] -> 0 heißt
> doch, dass die reihe nicht konvergiert.
Unsinn, wie kommst Du darauf ?
> , aber wieso müssen auch die nichtnegativen bzw.
> nichtpositiven Glieder gegen 0 konvergieren?
[mm] \sum a_n [/mm] ist konvergent, also ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge
FRED
>
>
> > Nun musst du nur folgendes Prinzip in Worte fassen: Nimm
> solange Elemente aus [mm]a^+_n[/mm] bis die Summe größer als x
> ist.
> > Dann nimm solange Elemente aus [mm]a^-_n[/mm] bis die Summe
> wieder kleiner als x ist.
> > Was gilt dann für die entstehende Summe?
> Das die SUmme nach x konvergiert.
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Stimmt da hab ich mich geirrt.
ABer wie gehts, dann nun der Beweis weiter??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mo 27.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
gono hat dir doch einen beweisweg aufgezeigt!
Gruss leduart
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Den Weg hab ich schon verstanden. Aber da habe ich doch noch gar nichts gezeigt mit dem Umordnen, dass die Reihe dann plötzlich was anderes erreichen kann.
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Hiho,
> Den Weg hab ich schon verstanden. Aber da habe ich doch
> noch gar nichts gezeigt mit dem Umordnen, dass die Reihe
> dann plötzlich was anderes erreichen kann.
beginne meinen Beweisvorschlag mit "sei [mm] $x\in \overline{\IR}$ [/mm] beliebig" und dann hast du doch gezeigt, dass es gegen jedes [mm] $x\in \overline{\IR}$ [/mm] konvergieren kann!
MFG,
Gono.
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Achso ;) Danke, jetzt verstehe ich es
Was heißt den [mm] \overline{\IR}?
[/mm]
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Hallo theresetom,
> Achso ;) Danke, jetzt verstehe ich es
>
> Was heißt den [mm]\overline{\IR}?[/mm]
Das sind die erweiterten reellen Zahlen; man nimmt [mm]\pm\infty[/mm] hinzu, also
[mm]\overline{\IR}=\IR\cup\{\pm\infty\}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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