Bedingte Erwartungswerte < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm](\Omega,\mathcal F), (\Omega',\mathcal F')[/mm] Messräume, [mm]X:(\Omega,\mathcal F)\to (\IR,\mathcal B)[/mm] [mm]\mathcal F[/mm]-messbar, [mm]Y:(\Omega,\mathcal F)\to (\Omega',\mathcal F')[/mm] messbar und [mm]\mathcal F(Y)=Y^{-1}\mathcal F'[/mm] die von [mm]Y[/mm] erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra.
Satz: Der bedingte Erwartungswert [mm]E(X\mid\mathcal F(Y))[/mm] lässt sich schreiben als [mm]E(X\mid Y=y)\circ Y[/mm] und ist charakterisiert durch [mm]E1_{(Y\in B)}X \ = \ \int\limits_B{E(X\mid Y=y)P^Y(dy)[/mm] |
Hallo zusammen,
meine Frage bezieht sich auf den Beweis der Aussage die Charakterisierung betreffend.
Beweis: [mm]E1_{(Y\in B)}X \ = \ P(Y\in B)EX \ = \ E1_{Y^{-1}B}E(X\mid\mathcal F(Y)) \ \red{=} \ E1_B\circ YE(X\mid Y) \ = \ \int\limits_B{E(X\mid Y=y) \ P^Y(dy)}[/mm]
Bis zum roten "=" ist das für mich nachvollziehbar, danach setzt es leider aus.
Könnte mir bitte jemand erklären, wie die letzten beiden Terme zustande kommen?
Danke schonmal und ein schönes Vorwochenende
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Fr 20.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo schachuzipus,
> Beweis: [mm]E1_{(Y\in B)}X \ = \ P(Y\in B)EX \ = \ E1_{Y^{-1}B}E(X\mid\mathcal F(Y)) \ \red{=} \ E1_B\circ YE(X\mid Y) \ = \ \int\limits_B{E(X\mid Y=y) \ P^Y(dy)}[/mm]
>
> Bis zum roten "=" ist das für mich nachvollziehbar, danach
> setzt es leider aus.
>
> Könnte mir bitte jemand erklären, wie die letzten beiden
> Terme zustande kommen?
Zum vorletzten Term:
$E(X|Y)$ ist nur eine abkürzende Schreibweise für [mm] $E(X|\mathcal{F}(Y))$.
[/mm]
[mm] $1_B\circ Y=1_{Y^{-1}(B)}$ [/mm] gilt wegen
[mm] $1_B\circ Y(\omega)=1 \iff Y(\omega)\in [/mm] B [mm] \iff \omega\in Y^{-1}(B) \iff 1_{Y^{-1}(B)}=1$
[/mm]
für alle [mm] $\omega\in\Omega$.
[/mm]
Zum letzten Gleichheitszeichen:
[mm] $E1_B\circ YE(X\mid [/mm] Y)$
[mm] $=\int{1_B\circ Y\cdot E(X|Y)\ dP}$
[/mm]
[mm] $=\int{1_B\circ Y\cdot E(X|Y=\cdot)\circ Y\ dP}$
[/mm]
[mm] $=\int{1_B(y)\cdot E(X|Y=y)\ P^Y(dy)}$
[/mm]
[mm] $=\int\limits_B{E(X\mid Y=y) \ P^Y(dy)}
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
wie immer besten Dank für deine Antwort!
> Hallo schachuzipus,
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> > Beweis: [mm]E1_{(Y\in B)}X \ = \ P(Y\in B)EX \ = \ E1_{Y^{-1}B}E(X\mid\mathcal F(Y)) \ \red{=} \ E1_B\circ YE(X\mid Y) \ = \ \int\limits_B{E(X\mid Y=y) \ P^Y(dy)}[/mm]
>
> >
> > Bis zum roten "=" ist das für mich nachvollziehbar, danach
> > setzt es leider aus.
> >
> > Könnte mir bitte jemand erklären, wie die letzten beiden
> > Terme zustande kommen?
> Zum vorletzten Term:
>
> [mm]E(X|Y)[/mm] ist nur eine abkürzende Schreibweise für
> [mm]E(X|\mathcal{F}(Y))[/mm].
Aha, schön zu wissen und gut, dass der Prof uns das vorenthält ...
Danke für diese wichtige Info!
>
> [mm]1_B\circ Y=1_{Y^{-1}(B)}[/mm] gilt wegen
>
> [mm]1_B\circ Y(\omega)=1 \iff Y(\omega)\in B \iff \omega\in Y^{-1}(B) \iff 1_{Y^{-1}(B)}=1[/mm]
>
> für alle [mm]\omega\in\Omega[/mm].
Jo, das hatte ich auch schon!
>
>
> Zum letzten Gleichheitszeichen:
>
> [mm]E1_B\circ YE(X\mid Y)[/mm]
> [mm]=\int{1_B\circ Y\cdot E(X|Y)\ dP}[/mm]
>
> [mm]=\int{1_B\circ Y\cdot E(X|Y=\cdot)\circ Y\ dP}[/mm]
>
> [mm]=\int{1_B(y)\cdot E(X|Y=y)\ P^Y(dy)}[/mm]
>
> [mm]$=\int\limits_B{E(X\mid Y=y) \ P^Y(dy)}[/mm]
Danke auch dafür! Mit der abkürzenden Schreibweise ist das dann fast selbstredend ...
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Aber noch eine kurze Frage zur sich anschließenden Bemerkung:
"Ist [mm]Y[/mm] unabh. von [mm]X[/mm], so gilt: [mm]E(X\mid Y)=EX[/mm] f.s."
Ist da auch wieder diese abkürzende Schreibweise gemeint? Weil wir [mm]E(X\mid Y)[/mm] für zwei ZV überhaupt gar nicht definiert haben ...
Ich kann ja den Bew. mal aufschreiben:
[mm] $E1_{(Y\in B)}X=P(Y\in B)EX=P^YBEX=\int\limits_B{EXP^Y(dy)}$
[/mm]
Diese bedingten Dinger sind irgendwie komisch ...
Gruß zurück
schachuzipus
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Hiho,
> "Ist [mm]Y[/mm] unabh. von [mm]X[/mm], so gilt: [mm]E(X\mid Y)=EX[/mm] f.s."
>
> Ist da auch wieder diese abkürzende Schreibweise gemeint?
> Weil wir [mm]E(X\mid Y)[/mm] für zwei ZV überhaupt gar nicht
> definiert haben ...
Ja, wobei diese Abkürzung durchaus auch ihren Sinn hat. Denn du bedingst ja auf das Wissen von Y, oder kurz "auf Y" 
Die abkürzende Schreibweise "EX" für E(X) find ich übrigens viel schlimmer....
> Diese bedingten Dinger sind irgendwie komisch ...
Sie erschlagen einen zu Anfang, aber mit ein bisschen Übung, sind sie gar nicht mehr so schwer.
Viel hilft da die Anschauung
MFG,
Gono.
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Hallo Gono,
perfekt, danke!
> Hiho,
>
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> > "Ist [mm]Y[/mm] unabh. von [mm]X[/mm], so gilt: [mm]E(X\mid Y)=EX[/mm] f.s."
> >
> > Ist da auch wieder diese abkürzende Schreibweise gemeint?
> > Weil wir [mm]E(X\mid Y)[/mm] für zwei ZV überhaupt gar nicht
> > definiert haben ...
>
> Ja, wobei diese Abkürzung durchaus auch ihren Sinn hat.
> Denn du bedingst ja auf das Wissen von Y, oder kurz "auf
> Y"
>
> Die abkürzende Schreibweise "EX" für E(X) find ich
> übrigens viel schlimmer....
Jo, so isser, der Prof, benennt alles gleich, Maße, Integale, Erwartungswerte ...
Klammern hält er für Verschwendung 
>
> > Diese bedingten Dinger sind irgendwie komisch ...
>
> Sie erschlagen einen zu Anfang, aber mit ein bisschen
> Übung, sind sie gar nicht mehr so schwer.
Naja, ich hatte halt die VL nicht hören können und lerne nach einem sehr beschränkt guten und sehr beschränkt ausführlichen Skript, das zudem "antik" ist ...
> Viel hilft da die Anschauung
>
> MFG,
> Gono.
Danke nochmal
Schönes WE
schachuzipus
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