Bedingte Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Do 19.02.2009 | | Autor: | gaugau |
| Aufgabe | Jemand wählt auf gut Glück eine natürliche Zahl aus der menge {1,2,3,...,100} aus. Wir betrachten die Ereignisse
A = "Die Zahl ist gerade"
B = "Die Zahl ist durch 3 teilbar"
Berechne die Wahrscheinlichkeit für [mm] P_{A}(B) [/mm] |
Hallo liebe Community,
leider stoße ich bei der oben genannten Aufgabe auf ein Problem.
Gesucht ist ja die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A - sprich wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter allen geraden Zahlen von 100 (A) auch durch 3 teilbare Zahlen vorhanden sind.
Dafür können wir ja folgende Formel nutzen.
[mm] P_{A}(B) [/mm] = [mm] \bruch{P(A \cap B)}{P(A)}
[/mm]
Hier bekomme ich raus:
[mm] P_{A}(B) [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2} \* \bruch{33}{100}}{\bruch{1}{2}} [/mm] = 0,33
Die Lösung verrät mir allerdings, dass es sich nur um eine Wahrscheinlichkeit von 0,32 handelt. Dies bestätigt sich, wenn ich mir die Mühe mache, das nachzuzählen. Hierbei nutze ich die LaPlace-Wahrscheinlichkeit. Dann kommt raus:
[mm] P_{A}(B) [/mm] = [mm] \bruch{|A \cap B|}{|A|} [/mm] = [mm] \bruch{16}{50} [/mm] = 0,32
Wieso kann ich das nicht rechnerisch bestimmen? Gilt nicht
P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(B) [mm] \* [/mm] P(A)?
Ich befürchte hier ein Brett vor dem Kopf zu haben. Vielleicht könnt ihr mir ja dabei helfen. Vielen Dank schon mal im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Do 19.02.2009 | | Autor: | glie |
> Jemand wählt auf gut Glück eine natürliche Zahl aus der
> menge {1,2,3,...,100} aus. Wir betrachten die Ereignisse
> A = "Die Zahl ist gerade"
> B = "Die Zahl ist durch 3 teilbar"
> Berechne die Wahrscheinlichkeit für [mm]P_{A}(B)[/mm]
> Hallo liebe Community,
>
> leider stoße ich bei der oben genannten Aufgabe auf ein
> Problem.
> Gesucht ist ja die Wahrscheinlichkeit von B unter der
> Bedingung A - sprich wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
> dass unter allen geraden Zahlen von 100 (A) auch durch 3
> teilbare Zahlen vorhanden sind.
>
> Dafür können wir ja folgende Formel nutzen.
> [mm]P_{A}(B)[/mm] = [mm]\bruch{P(A \cap B)}{P(A)}[/mm]
>
> Hier bekomme ich raus:
> [mm]P_{A}(B)[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{1}{2} \* \bruch{33}{100}}{\bruch{1}{2}}[/mm]
> = 0,33
>
> Die Lösung verrät mir allerdings, dass es sich nur um eine
> Wahrscheinlichkeit von 0,32 handelt. Dies bestätigt sich,
> wenn ich mir die Mühe mache, das nachzuzählen. Hierbei
> nutze ich die LaPlace-Wahrscheinlichkeit. Dann kommt raus:
>
> [mm]P_{A}(B)[/mm] = [mm]\bruch{|A \cap B|}{|A|}[/mm] = [mm]\bruch{16}{50}[/mm] = 0,32
>
> Wieso kann ich das nicht rechnerisch bestimmen? Gilt nicht
> P(A [mm]\cap[/mm] B) = P(B) [mm]\*[/mm] P(A)?
Das gilt nur, wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, und das sind sie hier nicht!
Also bleibt nur die Mächtigkeit von A [mm] \cap [/mm] B zu bestimmen, die beträgt 16.
(Vielfache von 6!!!)
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> Ich befürchte hier ein Brett vor dem Kopf zu haben.
> Vielleicht könnt ihr mir ja dabei helfen. Vielen Dank schon
> mal im Vorraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Do 19.02.2009 | | Autor: | gaugau |
> Das gilt nur, wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind,
> und das sind sie hier nicht!
>
> Also bleibt nur die Mächtigkeit von A [mm]\cap[/mm] B zu bestimmen,
> die beträgt 16.
> (Vielfache von 6!!!)
Das macht Sinn...
Aber gibt es keine rechnerische Methode unter Verwendung bekannter Wahrscheinlichkeiten - z.B. ein Produkt aus P(A) und P(B) - um P(A /cap B) zu bestimmen. Oder muss ich hier wirklich die Anzahl der günstigen Fälle selbst "abzählen" / errechnen (bzw. in diesem Fall mit Hilfe des Vielfachen bestimmen)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Do 19.02.2009 | | Autor: | glie |
> > Das gilt nur, wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind,
> > und das sind sie hier nicht!
> >
> > Also bleibt nur die Mächtigkeit von A [mm]\cap[/mm] B zu bestimmen,
> > die beträgt 16.
> > (Vielfache von 6!!!)
>
> Das macht Sinn...
> Aber gibt es keine rechnerische Methode unter Verwendung
> bekannter Wahrscheinlichkeiten - z.B. ein Produkt aus P(A)
> und P(B) - um P(A /cap B) zu bestimmen. Oder muss ich hier
> wirklich die Anzahl der günstigen Fälle selbst "abzählen" /
> errechnen (bzw. in diesem Fall mit Hilfe des Vielfachen
> bestimmen)?
Du könntest die Formel
P(A [mm] \cup [/mm] B)= P(A)+P(B)-P(A [mm] \cap [/mm] B)
umstellen,
aber da bleibt das Problem P(A [mm] \cup [/mm] B)
Also ich seh im Moment keine andere Möglichkeit. Lass mich aber gerne eines besseren belehren.
Gruß Glie
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