Bedingte Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Di 11.05.2010 | | Autor: | jxn |
| Aufgabe | Eine Reihe von Ereignissen [mm] (A_n)_{n\in\IN}, A_n\in [/mm] {0,1} sei folgendermaßen rekursiv de finiert (mit n [mm] \in\IN): [/mm] Tritt Ereignis [mm] A_n [/mm] ein, so tritt Ereignis [mm] A_{n+1} [/mm] mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 < p1 < 1 ein. Tritt [mm] A_n [/mm] nicht ein, so tritt [mm] A_{n+1} [/mm] mit der Wahrscheinlichkeit 0 < p2 < 1/2
ein. Das Ereignis [mm] A_1 [/mm] tritt ein.
Mit [mm] q_n [/mm] := [mm] P(A_n) [/mm] sei die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis [mm] A_n [/mm] bezeichnet.
a) Berechne [mm] q_{n+1} [/mm] in Abhangigkeit von [mm] q_n.
[/mm]
b) Finde eine geschlossene Form fur [mm] q_n, [/mm] d.h. gib [mm] q_n [/mm] nur in Abhängigkeit von [mm] q_1 [/mm] an.
c) Berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}q_n. [/mm] Wie ändert sich der Grenzwert, wenn das Ereignis [mm] A_1 [/mm] nicht eintritt? |
Moin moin.
So ganz durchdring ich diese Aufgabe noch nicht. Es ist ja nach der bedingten Wahrscheinlichkeit gefragt, die allgemein folgende Form hat: [mm] P(A|B)=\bruch{P(A\cap B)}{P(B)}.
[/mm]
zu a) Gesucht ist [mm] P(A_{n+1}|A_n), [/mm] korrekt? Ist denn dem Text nicht zu entnehmen, dass P = [mm] p_1 [/mm] ist? Wirkt etwas einfach...
zu b) Idee: Formel aufstellen, die [mm] q_1 [/mm] und [mm] q_n [/mm] enthält und dann umstellen, nur wie kommt man auf die Formel?
zu c) Wir wissen, jedes Ereignis tritt in Abhängigkeit vom vorangehenden Ereignis ein. [mm] P(A_1)=1 [/mm] nach Voraussetzung. Dann ist [mm] P(A_2|A_1)=p_1. [/mm] Wie sieht jetzt [mm] P(A_3|A_2) [/mm] aus? Etwa [mm] p_1*p_1, [/mm] dann würde der Grenzwert ja gegen 0 gehen, wenn man [mm] P(A_n|A_{n-1}) [/mm] auf diese Weise iterativ fortsetzt.
Gruß,
jxn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Di 11.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Eine Reihe von Ereignissen [mm](A_n)_{n\in\IN}, A_n\in[/mm] {0,1}
> sei folgendermaßen rekursiv de finiert (mit n [mm]\in\IN):[/mm]
> Tritt Ereignis [mm]A_n[/mm] ein, so tritt Ereignis [mm]A_{n+1}[/mm] mit der
> Wahrscheinlichkeit 1/2 < p1 < 1 ein. Tritt [mm]A_n[/mm] nicht ein,
> so tritt [mm]A_{n+1}[/mm] mit der Wahrscheinlichkeit 0 < p2 < 1/2
Also [mm] P(A_{n+1}|A_n)=p_1 [/mm] und [mm] P(A_{n+1}|A_n^C)=p_2, [/mm] oder?
Damit ist [mm] P(A_{n+1})=p_1P(A_n)+p_2(1-P(A_n)) [/mm] und das ganze sollte auf etwas von der Form [mm] P(A_{n+1})=q^nP(A_1)+p_2\frac{q^n-1}{q-1} [/mm] mit [mm] q:=p_1-p_2 [/mm] hinauslaufen, oder?
LG
gfm
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