Bedingte Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Do 18.08.2011 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | P(X=k) = [mm] p*(1-p)^{k-1} [/mm]
n,k [mm] \in [/mm] IN
Zeige:
P(X=n+k|X>n)=P(X=k) |
Hallo,
ich habe bereits die Lösung dieser Aufgabe:
P(x=n+k|X>n) = [mm] \bruch{P(X=n+k)}{P(X>n)}=\bruch{p*(1-p)^{n+k-1}}{1-(1-(1-p)^{n})} [/mm] = [mm] p*(1-p)^{k-1}=P(X=k)
[/mm]
Ich verstehe nur nicht, wie man nach dem zweiten Gleichheitszeichen auf den Nenner kommt bzw. wie man das aus dem vorhergehenden Nenner schlussfolgert.
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Hallo,
der Nenner ist eine Wahrscheinlichkeit der Form P(X>k), also genau die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses zu [mm] P(X\le [/mm] k), was wiederum genau deine Verteilung (hier: die geometrische Verteilung) ist.
Hilft dir das schon weiter?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Do 18.08.2011 | | Autor: | folken |
Danke dir erstmal.
Das mit dem Gegenereignis ist nachvollziehbar, aber müsste es dann nicht
[mm] 1-(p*(1-p)^{k-1}) [/mm] sein, weil Gegenwahrscheinlichkeit = 1- Wahrscheinlichkeit, oder wie kommt man genau auf den obigen Term.
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Hallo folken,
> Danke dir erstmal.
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> Das mit dem Gegenereignis ist nachvollziehbar, aber müsste
> es dann nicht
> [mm]1-(p*(1-p)^{k-1})[/mm] sein, weil Gegenwahrscheinlichkeit = 1-
> Wahrscheinlichkeit, oder wie kommt man genau auf den obigen
> Term.
Es ist [mm]P(X>n)=1-P(X\le n)=1-\left[ \ P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+\ldots+P(X=n) \ \right][/mm]
[mm]=1-\left[p(1-p)^0+p(1-p)^1+p(1-p)^2+\ldots+p(1-p)^{n-1}\right]=1-\left[p\cdot{}\sum\limits_{k=1}^n(1-p)^{k-1} \ \right][/mm]
Nun mache eine kleine Indexverschiebung zu [mm]k=0[/mm] und bemühe die Formel für die endliche geometr. Reihe.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Do 18.08.2011 | | Autor: | folken |
Danke dir, eine letzte Frage noch dazu:
bei mir bekomme ich folgendes raus für den Nenner: [mm] 1-P*(\bruch{1-(1-p)^{n+1}}{1-(1-p)}) [/mm] = [mm] 1-(1-(1-p)^{n+1}) [/mm] Wo ist mein Fehler?
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Hoppa!
> Danke dir, eine letzte Frage noch dazu:
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> bei mir bekomme ich folgendes raus für den Nenner:
> [mm]1-P*(\bruch{1-(1-p)^{n+1}}{1-(1-p)})[/mm] = [mm]1-(1-(1-p)^{n+1})[/mm]
> Wo ist mein Fehler?
Die Potenz [mm]n+1[/mm] stimmt nicht.
Wenn du an der Summe die Indexverschiebung machst, so ändert sich auch der obere Index:
Nur die Summe:
[mm]\sum\limits_{k=1}^{n}(1-p)^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(1-p)^k[/mm]
Denn die Anzahl der Summanden muss ja gleich bleiben (n Summanden sind es)
Und wenn du an der Summe den Index [mm]k[/mm] um (direkt allgemein) [mm]m[/mm] erniedrigst, musst du das ausgleichen, indem du jedes k in der Summe um [mm]m[/mm] erhöhst.
Nun ergibt sich für die Summe: [mm]=\frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)}=\frac{1-(1-p)^n}{p}[/mm]
Jetzt noch zusammenmodeln und du hast es ...
Gruß
schachuzipus
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