Bedingte Wahrscheinlichkeiten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:14 Sa 09.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | An einem Flughafen kommen an einem Tag k [mm] \in [/mm] N Flugzeuge mit Wahrscheinlichkeit [mm] exp(-lambda)*(lambda^k/k!) [/mm] , lambda >0 an. Diese transportieren unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit p mindestens eine Person, die mit dem Erreger der Schweinegrippe infiziert ist.
a) Sei B:= "Mindestens eine infizierte Person kommt an". Berechnen Sie P(B).
b) Sei [mm] A_k:= [/mm] "Es kommen k Flugzeuge an". Berechnen Sie [mm] P(A_kIB^c) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo MatheRaum-Team,
ich brüte über dieser Aufgabe bereits zum zweiten Tag in Folge und wäre dankbar über jeden Tipp und jede Hilfestellung.
Folgendes habe ich mir überlegt:
zu a) P(B)= 1- [mm] P(B^c)= [/mm] 1- [mm] exp(-lambda)*(lambda^k/k!)*(1-p)^k
[/mm]
Allerdings habe ich im Moment keine Idee wie ich dies formal begründe bzw. wie ich auf dies komme, wobei ich mir nicht mal sicher bin ob das obige stimmt.
zu b) Da ich hier die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis A [mm] \cap [/mm] B nicht gegegben habe und auch nicht bestimmen kann, fehlt mir hier jegliche Grundlage für die Anwendung der Formel zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten. Daher bin ich auch hier völlig ratlos.
Für etwaige Hilfe möchte ich mich schon mal herzlichst bedanken!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Sa 09.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin kegel53,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
a) [mm] $P(B^c)=\sum_{k=1}^\infty P(B^C\cap A_k)=\ldots$
[/mm]
b) Ich *vermute*, dass [mm] $P(A_k\mid B^c)$ [/mm] gesucht ist. (Was soll sonst das Ereignis A sein?). [mm] $P(A_k\mid B^c)=P(A_k\cap B^c)/P(B^c)$. [/mm] Nutze a) aus.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Sa 09.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Guten Abend,
ja ers mal vielen Dank für die nette Begrüßung und sorry für den kleinen Fehler in der Aufgabenstellung. Ist ja gleich mal ein gelungener Einstand meinerseits  .
Allerdings bin ich immer noch etwas ratlos trotz oder gerade wegen der Tipps. Ich bin unsicher inwiefern mir die Summe in Teilaufgabe a) weiterhilft, da ich ja gerade das Ereignis [mm] P(A_k \cap [/mm] B) nicht bestimmen kann unabhängig für welches k [mm] \in [/mm] N.
Es könnte durchaus sein, dass ich im Moment auf dem Schlauch stehe. Wenn man mir noch ein wenig mehr auf die Sprünge helfen könnte wäre das wirklich klasse. Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Sa 09.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
vielleicht entsinnst du dich der alten Bauernregel $ [mm] P(A_k \cap B^c)=P(B^c \mid A_k)P(A_k)$...
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 So 10.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Tut mir leid mir sind zwar die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten mitsamt den zugehörigen Umformungen sehr wohl bekannt, jedoch ist mir nicht klar wie ich ohne Kenntnis der Wahrscheinlichkeiten P(A [mm] \cap [/mm] B) , [mm] P(A_kIB^c) [/mm] und [mm] P(B^cIA_k) [/mm] damit weiterarbeiten kann. Ich brauche wohl mehr Hilfe als ich dachte.
Es wär toll, wenn man mir einen etwas konkreteren Lösungsvorschlag geben könnte. Nochmals vielen Dank im Voraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 So 10.05.2009 | | Autor: | luis52 |
[mm] P(B^c\mid A_k) [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit dafuer, dass in sich keinem von
k Flugzeugen eine Person befindet, die mit dem Erreger der Schweinegrippe
infiziert ist.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 So 10.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Das ist alles schön und gut, jedoch ist mir dies alles ebenfalls bereits bekannt. Trotzdem bringt mich dieses Wissen nicht besonders weiter.
Meine Problem liegt immer noch darin, dass ich die Wahrscheinlichkeit [mm] P(B^cIA_k) [/mm] nicht konkret berechnen kann, obwohl ich weiß was die Wahrscheinlichkeit aussagt. Möglich wäre [mm] P(B^cIA_k)= (1-p)^k [/mm] was jedoch nur eine Vermutung ist.
Eine konkrete Vorgehensweise bzw. konkrete Berechnung würde mir sher helfen. Danke für die Zeit, die ihr euch hier nehmt um meine sicherlich stupiden Fragen zu beantworten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 So 10.05.2009 | | Autor: | luis52 |
> Das ist alles schön und gut, jedoch ist mir dies alles
> ebenfalls bereits bekannt.
Und wieso veroeffentlichst du dein Wissen in homoeopatischen Dosen?
> Trotzdem bringt mich dieses
> Wissen nicht besonders weiter.
Doch.
> Meine Problem liegt immer noch darin, dass ich die
> Wahrscheinlichkeit [mm]P(B^cIA_k)[/mm] nicht konkret berechnen kann,
> obwohl ich weiß was die Wahrscheinlichkeit aussagt. Möglich
> wäre [mm]P(B^cIA_k)= (1-p)^k[/mm] was jedoch nur eine Vermutung
> ist.
Genau das stimmt, da die Ereignisse unabhaengig sind.
vg Luis
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 So 10.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja da gebe ich Ihnen recht ich hätte meinen Standpunkt bzw. meine Frage präziser formulieren können oder sollen. Als Neuling in einem derartigen Forum bitte ich hierbei um Verständnis. Nun zur Aufgabe:
Unter der Annahme, dass die Ereignisse (stochastisch) unabhängig sind, wovon ich noch nicht ganz überzeugt bin, würde dann folgendes gelten:
a) P(B)= 1- [mm] P(B^c)= [/mm] 1- [mm] (1-p)^k
[/mm]
b) [mm] P(A_kIB^c)= P(A_k)= exp(-lambda)*lambda^k/k!
[/mm]
Dies erscheint mir etwas zu einfach oder sollte die Lösung so stimmen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 So 10.05.2009 | | Autor: | luis52 |
> Ja da gebe ich Ihnen recht ich hätte meinen Standpunkt bzw.
> meine Frage präziser formulieren können oder sollen. Als
> Neuling in einem derartigen Forum bitte ich hierbei um
> Verständnis. Nun zur Aufgabe:
>
> Unter der Annahme, dass die Ereignisse (stochastisch)
> unabhängig sind, wovon ich noch nicht ganz überzeugt bin,
> würde dann folgendes gelten:
>
> a) P(B)= 1- [mm]P(B^c)=[/mm] 1- [mm](1-p)^k[/mm]
>
Nein:
$ [mm] P(B^c)=\sum_{k=1}^\infty P(B^C\cap A_k)=\sum_{k=1}^\infty P(B^C\mid A_k)P(A_k)=\sum_{k=1}^\infty(1-p)^k\exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}=\exp(-\lambda)\sum_{k=1}^\infty\frac{((1-p)\lambda)^k}{k!}=\ldots [/mm] $
Diesen Ausdruck kann man noch etwas vereinfachen.
vg Luis
PS: Wir sind hier locker und duzen uns im allgemeinen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 So 10.05.2009 | | Autor: | luis52 |
> Also ich denke ich hab jetz allmählich verstanden wie die
> Aufgabe zu lösen ist und sag mal vielen Dank für die
> Beantwortung und die Geduld, die du mir entgegen gebracht
> hast .
> Zwei Dinge sind mir allerdings noch unklar, weshalb ich da
> nochmals nachhacken muss.
> Das eine ist die zuvor gemachte Aussage, dass die
> Ereignisse unabhängig sind, d.h. dass gilt [mm]P(B^cIA_k)= P(B^c)= (1-p)^k,[/mm]
*Das* wurde nicht behauptet, und ist auch nicht korrekt. Es geht um [mm] $P(B^c\mid A_k)=(1-p)^k$, [/mm] also die Wsk, dass kein erkrankter Passagier dabei ist, wenn k Flugzeuge landen. Sei [mm] $K_i$ [/mm] das Ereignis, dass in sich Flugzeug i eine kranke Person befindet. Die Ereignisse [mm] K_1,\dots,K_k [/mm] sind unabhaengig, und wir koennen schreiben [mm] $P(B^c\mid A_k)=P(\overline{K}_1\cap\cdots\cap\overline{K}_k\mid A_k)=(1-p)^k$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 10.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar ich verstehe. Nur um sicher zu gehen. Das bedeutet es gilt:
... = [mm] P(\bar K_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap \bar K_kIA_k)= P(\bar K_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap \bar K_k)= P(\bar K_1)*...*P(\bar K_k)= (1-p)^k
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 So 10.05.2009 | | Autor: | luis52 |
> Alles klar ich verstehe. Nur um sicher zu gehen. Das
> bedeutet es gilt:
> ... = [mm]P(\bar K_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap \bar K_kIA_k)= P(\bar K_1 \cap[/mm]
> ... [mm]\cap \bar K_k)= P(\bar K_1)*...*P(\bar K_k)= (1-p)^k[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 10.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja wunderbar ! Na dann bleibt mir nur vielen Dank zu sagen. Es war eine schwere Geburt, aber jetzt ist alles klar. Schönen Abend wünsch ich noch und Danke nochmal.
|
|
|
|
