Bedingte Wahrscheinlichkeiten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Di 07.02.2012 | | Autor: | DanielP. |
| Aufgabe 1 | Aufgabe 1
Seien A und B beliebige Ereignisse mit P(A) = 3/4 und P(B) = 1/3. Zeigen Sie:
[mm] 1/12<=P(A\cap [/mm] B) <= 1/3
Was kann man für [mm] P(A\cup [/mm] B) folgern? |
| Aufgabe 2 | | 1. Beweisen oder widerlegen Sie: Falls P(A) = [mm] P(\bar{B}) [/mm] folgt [mm] \bar{A} [/mm] = B. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich schlage mich gerade mit bedingten Wahrscheinlichkeiten herum und weiß bei obiger Aufgabe nciht so recht wie ich anfangen soll.
Ich dachte mir dass ich sie wahrscheinlich zweiteilen muss, also einmal 1/12 <= [mm] P(A\cap [/mm] B) zeigen muss und dann nochmal extra den zweiten Teil.
Weiter als [mm] P(A\cap [/mm] B) = P(A|B)*P(B) komme ich aber nicht :(
Wäre dankbar für Hinweise.
Bei der zweiten weiß ich gar nciht wie ich anfangen soll :(
Grüße
Daniel
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> Aufgabe 1
> Seien A und B beliebige Ereignisse mit P(A) = 3/4 und P(B)
> = 1/3. Zeigen Sie:
>
> [mm]1/12<=P(A\cap[/mm] B) <= 1/3
>
> Was kann man für [mm]P(A\cup[/mm] B) folgern?
> 1. Beweisen oder widerlegen Sie: Falls P(A) = [mm]P(\bar{B})[/mm]
> folgt [mm]\bar{A}[/mm] = B.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich schlage mich gerade mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
> herum und weiß bei obiger Aufgabe nciht so recht wie ich
> anfangen soll.
> Ich dachte mir dass ich sie wahrscheinlich zweiteilen
> muss, also einmal 1/12 <= [mm]P(A\cap[/mm] B) zeigen muss und dann
> nochmal extra den zweiten Teil.
> Weiter als [mm]P(A\cap[/mm] B) = P(A|B)*P(B) komme ich aber nicht
> :(
> Wäre dankbar für Hinweise.
> Bei der zweiten weiß ich gar nciht wie ich anfangen soll
> :(
>
> Grüße
> Daniel
Hallo Daniel,
am besten machst du dir das wohl anhand eines
Venn-Diagramms klar. Zeichne in ein Rechteck
des Flächeninhalts S=1 je eine Teilmenge A (mit
Flächeninhalt 3/4) und B (Flächeninhalt 1/3) ein.
Die beiden Teilmengen müssen sich überlappen.
Nun sind die Möglichkeiten mit möglichst geringer
oder aber mit möglichst weitgehender Überlappung
gesucht !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 07.02.2012 | | Autor: | DanielP. |
Gut ich gebe zu mit diesem Diagramm ist es sehr leicht die Gleichung nachzuvollziehen, aber beweisen kann ich dass damit ja nicht, dass muss doch noch formeltechnisch funktionieren, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Di 07.02.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin Daniel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Neben der von Al erwaehnten Moeglichkeit finde ich haeufig die Verwendung einer Wahrscheinlichkeitstabelle hilfreich. In deinem Fall koennte sie wie folgt aussehen:
[mm] \begin{tabular} {@{}cccc@{}} \hline & B & \overline{B} & \sum\\\hline A& P(A\cap B) & P(A\cap \overline{B}) & 9/12 \\ \overline{A} & P(\overline{A}\cap B) & P(\overline{A}\cap \overline{B}) & 3/12 \\\hline \sum &4/12 & 8/12 & 1.0 \\ \hline \end{tabular} [/mm]
Jetzt argumentiere mal mit den Annahmen [mm] $P(A\cap [/mm] B)<1/12$ oder [mm] $P(A\cap [/mm] B)>1/3$ ...
Ueberlege dir bei 2. ein Gegenbeispiel.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Di 07.02.2012 | | Autor: | DanielP. |
Erstmal Danke fürs Willkommen heißen ;)
Und Danke euch beiden für eure Antowrten!
Zu Deiner Antwort:
Die Logik habe ich verstanden, A belegt ja bis auf 3/12 alles, weswegen die Schnittmenge mindestens 1/12 sein muss, weil B ja 4/12 belegt, und umgekehrt maximal 1/3, wenn nämlich B komplett mit A übereinstimmt.
Die Frage ist aber wie ich das rechnerisch Beweise, zumindest würde ich die Aufgabe so verstehen.
Und das geht mit euren Beispielen ja nicht oder?
vg
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Di 07.02.2012 | | Autor: | luis52 |
> Und das geht mit euren Beispielen ja nicht oder?
>
Das sind keine Beispiele, das ist der allgemeine Fall.
Gut, ich mach's mal vor und unterstelle $ [mm] P(A\cap [/mm] B)>1/3=4/12$. Dann ist $4/12=P(B)= [mm] P(A\cap [/mm] B) + [mm] P(A\cap \overline{B})>4/12+P(A\cap \overline{B})$, [/mm] Widerspruch.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Di 07.02.2012 | | Autor: | DanielP. |
Auf die gefahr hin mich als völlig unwissend zu outen:
Ich kann Dir leider noch immer nicht folgen :(
Gut wir nehmen an $ [mm] P(A\cap [/mm] B)>4/12 $
Wenn ich es richtig verstehe und mir mit venndiagrammen bildlich darstelle müsste es doch dann heißen:
$ 4/12=P(B)= [mm] P(A\cap [/mm] B) + [mm] P(\overline{A}\cap B)>4/12+P(\overline{A}\cap [/mm] B) $
da wäre dann der erste teil vor dem > gleich P(B), also 4/12 und der danach größer, was den Widerspruch bedeutet.
Oder ist das falsch?
lg
Daniel
P.S.
danke für Deine Mühe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Di 07.02.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> Gut wir nehmen an [mm]P(A\cap B)>4/12[/mm]
>
> Wenn ich es richtig verstehe und mir mit venndiagrammen
> bildlich darstelle müsste es doch dann heißen:
>
> [mm]4/12=P(B)= P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B)>4/12+P(\overline{A}\cap B)[/mm]
>
> da wäre dann der erste teil vor dem > gleich P(B), also
> 4/12 und der danach größer, was den Widerspruch
> bedeutet.
> Oder ist das falsch?
Nein, *du* hast recht. Aber kleine Fehler einzubauen ist hier ein beliebter Trick, um die Spannkraft der Leser zu erhalten. 
>
> lg
> Daniel
>
> P.S.
> danke für Deine Mühe :)
Gerne.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Di 07.02.2012 | | Autor: | DanielP. |
Ha! Vielen Dank für das Erfolgserlebnis^^
Sehr schön, dann habe ich das verstanden, ein winziger Lichtblick in dem Berg der Finsternis. Dummerweise war das aber wohl der einfachere Teil, denn es gilt ja noch die andere Seite:
Ich nehme also an P(A [mm] \cap [/mm] B) <1/12
Diesmal habe ich aber keine bekannte WK wie im vorigen Fall, kann es also nicht einfach gleichsetzen, welche Möglichkeiten hätte ich hier?
Ich komm auf keinen grünen Ast :(
vg
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Di 07.02.2012 | | Autor: | luis52 |
Sieh dir die erste Zeiie der Tabelle an: Gilt $P(A [mm] \cap [/mm] B) <1/12 $, so ist notwendigerweise $P(A [mm] \cap \overline{B}) [/mm] >8/12 $, weil $P(A)=9/12_$ ...
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Di 07.02.2012 | | Autor: | DanielP. |
Jetzt sehe ich erst den Sinn der Tabelle richtig.
Vielen Dank nochmal und einen schönen Abend, wer weiß vielleicht sorge ich noch für Nachschub :)
vg
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Di 07.02.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> Vielen Dank nochmal und einen schönen Abend, wer weiß
> vielleicht sorge ich noch für Nachschub :)
>
Bin ab heute unbekannt verzogen.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Di 07.02.2012 | | Autor: | DanielP. |
verdammt, ich hätte wohl doch nicht so sehr nachhaken sollen...
naja vielleicht findet sich ja jemand der nicht so viel umherzieht :P
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