Bedingung für Extr. Und wendpk < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Mo 27.05.2013 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | Gegeben [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
A) welche Bedingung müssen die Koeffizienten a,b,c und d jeweils erfüllen, damit
i) f zwei Extremwerte besitzt,
ii) der Graph von f einen Wendepunkt besitzt,
iii) f genau einen extrempunkt besitzt? |
Hi,
Sitze grad an a i) fest. Was ist schonmal weiss ist, dass a nicht Null sein darf, da sonst es keine zwei extrempunkt gibt. Weiß aber nicht, wie man es sauber mathematisch beweisen kann, und die anderen Bedingung finde ich leider nicht. Könnt ihr mir bitte ein Tipp geben.
Gruß
|
|
| |
|
Hallo,
> Gegeben [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
> A) welche Bedingung müssen die Koeffizienten a,b,c und d
> jeweils erfüllen, damit
> i) f zwei Extremwerte besitzt,
> ii) der Graph von f einen Wendepunkt besitzt,
> iii) f genau einen extrempunkt besitzt?
> Hi,
>
> Sitze grad an a i) fest. Was ist schonmal weiss ist, dass a
> nicht Null sein darf, da sonst es keine zwei extrempunkt
> gibt. Weiß aber nicht, wie man es sauber mathematisch
> beweisen kann, und die anderen Bedingung finde ich leider
> nicht. Könnt ihr mir bitte ein Tipp geben.
Na ja, das ist nu nicht gerade viel. Immerhin gibt es die landauf-landab bekannten Bedingungen:
- notwendige Bedingung: [mm] f'(x_0)=0
[/mm]
- hinreichende Bedingung*: f'(x) besitzt an de Stelle [mm] x_0 [/mm] einen Vorzeichenwechsel
Damit die hinreichende Bedingung an zwei unterschiedlichen Stellen erfüllt sein kann, muss sicherlich [mm] a\ne{0} [/mm] gelten, damit die erste Ableitung überhaupt eine quadratische Funktion ist.
Setze jetzt die erste Ableitung gleich Null, löse das ganze per Mitternachtsformel und überlege dir, was denn so gelten muss, damit diese Mitternachtsformel zwei Lösungen zurückliefert. Dass diese Lösungen dann Extremstellen sind, kann man mit der Gestalt der zweiten Ableitung dann ohne nachrechnen begründen...
*eine von sehr vielen...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Mo 27.05.2013 | | Autor: | DragoNru |
Top, vielen dank. Die mitternachtsformel kannte ich gar nicht. Aber die Bedingung für die Wurzel sieht genauso aus, wie ein Teil der Lösung :)
|
|
|
|
