Bedingung für hebb. def.lücke < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
für eine hebbare Definitionslücke gibt es ja zwei Kriterien, zum einen wäre das eine Nullstelle des Nenner, deren links- und rechtsseitiger Grenzwert endlich und gleich ist. Oder aber eine doppelte Nullstelle, also Zähler und Nenner für denselben x-Wert gleich null.
Ist das zweite Kriterium vollkommen ausreichend ? Gibt es Ausnahmen, muss ich mehr überprüfen ? Manchmal, wenn die Funktionen etwas unschöner sind, wäre die Geschichte mit der doppelten Nullstelle einfacher als links und rechtsseitige Grenzwerte bestimmen zu müssen.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo MontBlanc!
Das erste Kriterium habe ich nicht ganz verstanden ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Aber hier mal ein Beispiel, dass das zweite Kriterium nicht unbedingt auf "hebbare Definitionslücke" schließen lässt:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2-3x+2}{x^2-2x+1}$$
[/mm]
Zähler und Nenner haben die Nullstelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ .
Es gilt aber auch:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2-3x+2}{x^2-2x+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(x-1)*(x-2)}{(x-1)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x-2}{x-1}$$
[/mm]
Und wie man sieht, ist die Definitionslücke immer noch nicht hebbar.
Gruß
Loddar
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Hallo,
Danke für deine Antwort :)
was ich meinte mit dem ersten kriterium:
Es muss an der stelle [mm] x_0 [/mm] eine Definitionslücke vorliegen, und der Grenzwert an an der Stelle [mm] x_0 [/mm] , also [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}f(x) [/mm] muss existieren, dies ist doch gleichbedeutend mit rechts- und linksseitiger grenzwert an der Stelle [mm] x_0 [/mm] sind gleich, oder ?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Ach so ....
> Es muss an der stelle [mm]x_0[/mm] eine Definitionslücke vorliegen,
> und der Grenzwert an an der Stelle [mm]x_0[/mm] , also
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}f(x)[/mm] muss existieren, dies ist
> doch gleichbedeutend mit rechts- und linksseitiger
> grenzwert an der Stelle [mm]x_0[/mm] sind gleich, oder ?
Ja.
Gruß
Loddar
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