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| Aufgabe | Die DGL, die die Bahn eines Balls beschreibt, ist wie folgt:
[mm] \vec{x}''(t) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ g} [/mm] -c [mm] |\vec{x}'(t)|\vec{x}'(t)
[/mm]
c und g sind positive Konstanten.
a) Schreiben sie dieses System von DGLs als System erster Ordnung.
b) Zeigen sie, dass die Bedingungen für Picard-Lindelöf erfüllt sind.
c) Wie viele und welche Anfangswerte müssen festgelegt werden, damit Picard-Lindelöf eine eindeutige Lösung leifert? |
Hallo,
also zu a)
mein Ansatz hierbei wäre p(x)=x' und p*p'=x''.
daraus würde folgen
p*p'= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ g}-c|p|*p
[/mm]
Hier ist für mich die Aufgabe gelöst. Der Schönheit halber würde ich noch durch p dividieren.
zu b)
Was mich hier verwirrt ist, dass es kein t in der Gleichung gibt. Alle bisherigen Beispiele die ich gefunden habe waren in der Form:
y'(x)= 2xy oder ähnlich.
ich habe jetzt hier:
[mm] p'=\bruch{ \vektor{0 \\ 0 \\ g}-c|p|*p}{p}
[/mm]
Mir fehlt da eine zweite Variable.
Oder betrachte ich das als ganz normale Geradengleichung? Dann würde ich gerne wissen wie ich das mit dem Vektor handhaben müsste.
Die Überlegung für PL muss ja sein:
Die linke Seite ist stetig nach p differenzierbar und
die rechte Seite müsste auf D [mm] \subset \IR^{3} [/mm] stetig sein. ( was sie in meiner Gleichung aber nicht wäre)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für eure Hilfe
Thomas
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Hallo Thomas0086,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die DGL, die die Bahn eines Balls beschreibt, ist wie
> folgt:
>
> [mm]\vec{x}''(t)[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ g}[/mm] -c
> [mm]|\vec{x}'(t)|\vec{x}'(t)[/mm]
> c und g sind positive Konstanten.
>
> a) Schreiben sie dieses System von DGLs als System erster
> Ordnung.
> b) Zeigen sie, dass die Bedingungen für Picard-Lindelöf
> erfüllt sind.
> c) Wie viele und welche Anfangswerte müssen festgelegt
> werden, damit Picard-Lindelöf eine eindeutige Lösung
> leifert?
> Hallo,
>
> also zu a)
> mein Ansatz hierbei wäre p(x)=x' und p*p'=x''.
Es ist doch [mm]p'=x''[/mm]
> daraus würde folgen
> p*p'= [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ g}-c|p|*p[/mm]
> Hier ist für mich die
> Aufgabe gelöst. Der Schönheit halber würde ich noch
> durch p dividieren.
>
Das geht nicht, da p ein Vektor ist.
Richtig ist:
[mm]p'=\vektor{0 \\ 0 \\ g}-c|p|*p[/mm]
Wenn Du auch noch die Funktion x(t) dabei haben willst,
dann ist eine zusätzliche Definition einzuführen.
[mm]x(t)=:q [/mm]
Damit ist [mm]q'=p[/mm]
Es ergibt sich dann folgendes System:
[mm]q'=p[/mm]
[mm]p'=\vektor{0 \\ 0 \\ g}-c|p|*p[/mm]
> zu b)
> Was mich hier verwirrt ist, dass es kein t in der
> Gleichung gibt. Alle bisherigen Beispiele die ich gefunden
> habe waren in der Form:
> y'(x)= 2xy oder ähnlich.
> ich habe jetzt hier:
> [mm]p'=\bruch{ \vektor{0 \\ 0 \\ g}-c|p|*p}{p}[/mm]
>
Durch einen Vektor kannst Du nicht dividieren.
> Mir fehlt da eine zweite Variable.
> Oder betrachte ich das als ganz normale Geradengleichung?
> Dann würde ich gerne wissen wie ich das mit dem Vektor
> handhaben müsste.
>
> Die Überlegung für PL muss ja sein:
> Die linke Seite ist stetig nach p differenzierbar und
> die rechte Seite müsste auf D [mm]\subset \IR^{3}[/mm] stetig
> sein. ( was sie in meiner Gleichung aber nicht wäre)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Danke für eure Hilfe
> Thomas
>
Gruss
MathePower
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also gilt dann folgendes:
[mm] |f(x)-f(y)|=|\vektor{0 \\ 0 \\ g}-c|x|\cdot{}x -\vektor{0 \\ 0 \\ g}+c|y|\cdot{}y|
[/mm]
[mm] =|-c|x|\cdot{}x+c|y|\cdot{}y|=c||y|\cdot{}y-|x|\cdot{}x|
[/mm]
hier würde ich jetzt z.b. x=0 setzen und dann abschätzen.
d.h.
[mm] c||y|\cdot{}y|\le [/mm] c [mm] |y|+|y|=(c+1)|y|\le [/mm] L |y|
also L=max(|c+1|)
Damit wäre PL erfüllt, aber bin mir nicht sicher ob das so funktioniert.
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Hallo Thomas0086,
> also gilt dann folgendes:
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> [mm]|f(x)-f(y)|=|\vektor{0 \\ 0 \\ g}-c|x|\cdot{}x -\vektor{0 \\ 0 \\ g}+c|y|\cdot{}y|[/mm]
>
> [mm]=|-c|x|\cdot{}x+c|y|\cdot{}y|=c||y|\cdot{}y-|x|\cdot{}x|[/mm]
>
> hier würde ich jetzt z.b. x=0 setzen und dann
> abschätzen.
> d.h.
> [mm]c||y|\cdot{}y|\le[/mm] c [mm]|y|+|y|=(c+1)|y|\le[/mm] L |y|
> also L=max(|c+1|)
>
> Damit wäre PL erfüllt, aber bin mir nicht sicher ob das
> so funktioniert.
Nein, das funktionier so nicht.
Zeigen musst Du, daß
[mm]\vmat{c \vmat{y}*y-c\vmat{x}*x} \le L \vmat{y-x}[/mm]
Das ist nix mit x=0 setzen.
Gruss
MathePower
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also
[mm] \vmat{c \vmat{y}\cdot{}y-c\vmat{x}\cdot{}x}.
[/mm]
kann ich einfach L=max( [mm] c\vmat{y},c\vmat{x} [/mm] ) wählen?
weil ich kann ja
c [mm] \vmat{y}\cdot{}y [/mm] gegen [mm] L\cdot{}y [/mm] und c [mm] \vmat{x}\cdot{}x [/mm] gegen [mm] L\cdot{}x [/mm] abschätzen?!
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Hallo Thomas0086,
> also
> [mm]\vmat{c \vmat{y}\cdot{}y-c\vmat{x}\cdot{}x}.[/mm]
> kann ich
> einfach L=max( [mm]c\vmat{y},c\vmat{x}[/mm] ) wählen?
>
Für [mm]\vmat{y}<\vmat{x}[/mm] kannst Du [mm]L=\vmat{c*x}[/mm] wählen.
Der Fall [mm]\vmat{y}\ge\vmat{x}[/mm] ist etwas problematisch.
> weil ich kann ja
> c [mm]\vmat{y}\cdot{}y[/mm] gegen [mm]L\cdot{}y[/mm] und c [mm]\vmat{x}\cdot{}x[/mm]
> gegen [mm]L\cdot{}x[/mm] abschätzen?!
>
Gruss
MathePower
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