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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Do 29.06.2006 | | Autor: | Lisalou |
| Aufgabe | | In welcher Beziehung stehen die Begriffe rechtsdeutig, linksdeutig, injektiv und surjektiv zueinander? |
bräuchte dazu eine Antwort
Gruß Lisalou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Do 29.06.2006 | | Autor: | jerry |
Hallo Lisalou,
zunächst kann ich dich mal auf
http://de.wikipedia.org/wiki/Relation_(Mathematik)
verweisen. da ist das ganze ganz schön in ner tabelle dargestellt.
ich versuch das ganze aber nochmal in meine eigenen worte zu fassen.
du hast eine Abbildung von einem Raum A in einen Raum B.
in der schule ist wird meistens von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] abgebildet.
also zB wird bei [mm] f(x)=x^2 [/mm] eine beliebige reelle zahl x in den Wert f(x) also hier [mm] x^2 [/mm] abgebildet, dieser ist hier auch in [mm] \IR.
[/mm]
man sagt auch Definitionsbereich (für die menge der zahlen die du für x einsetzt) und wertebereich (für die menge der zahlen die die funktionswerte f(x) dann annehmen)
definitionsmenge und wertebereich können aber auch nur bestimmte intervalle umfassen müssen also nicht immer auf ganz [mm] \IR [/mm] gelten.
k nun fang ich mal mit injektiv an:
eine funktion ist dann injektiv wenn es für alle f(x)-werte höchstens einen x-Wert gibt. oder andersrum gesagt: es gibt keine zwei x werte, die den selben y-wert annehmen.
Beispiel: [mm] f(x)=x^3
[/mm]
egal welche zwei x-werte du dir aussuchst, es kommt nie dasselbe heraus.
linkseindeutig ist das selbe wie injektiv (laut wikipedia).
surjektiv:
zu jedem y-wert der in der Zielmenge B gibt es mindestens einen x-wert.
z.B. ist der definitionsbereich ganz [mm] \IR [/mm] und der wertebereich auch.
dann ist sin(x) nicht surjektiv. denn z.B. alle y-werte größer 1 haben keinen passenden x-wert. man kann nun die funktion surjektiv machen in dem man den wertebereich einschränkt (man schummelt also ein wenig).
ist der wertebereich nur das Intervall von -1 bis 1 also [-1;1] so ist sin(x) darin surjektiv. denn für alle erlaubten y-werte gibt es mindestens ein x. bei sin sogar unendlich viele.
und genau hier liegt der unterschied zu rechtseindeutig:
hier gilt:
zu jedem y-wert der in der Zielmenge B gibt es genau einen x-wert.
eine einfache gerade mit steigung >1 wäre als ein beispiel für rechtseindeutig.
so was läßt sich daraus nun folgern:
rechtseindeutig ist eine strengere variante der surjektivität.
d.h. jede rechtseindeutige funktion ist auch surjektiv.
[edit:
es gilt übrigens auch noch. ist eine funktion linkseindeutig ist sie injektiv.
oder: eine injektive funktion ist linkseindeutig.]
es gibt aber auch funktionen die zB injektiv sind aber nicht surjektiv.
also es besteht da kein direkter zusammenhang.
ist eine abbildung injektiv und surjektiv nennt man sie auch bijektiv.
ich hoffe es ist dir klarer geworden.
gruß benjamin
PS: ich bin bisher noch nicht wirklich mit den begriffen links und rechtseindeutig in berührung gekommen. da könnte also durchaus nicht alles stimmen (verweise ncohmal auf wiki)
bitte also korrigieren falls jemand anderer meinung ist.
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