Begründung Population < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folgendes Modell gibt die Siutation der Population der Pflanze Macchie wieder:
- Die Vegetation wird entsprechend ihrem Alter in vier Klassen eingeteilt:
Klasse A: 0-5 Jahre; Klasse B: 5-10 Jahr; Klasse C: 10-15 Jahre; Klasse D: 15 und älter
-Die Größe einr Klasse ist nicht die Anzahl der Pflanzen, sondern die Größe der von den Pflanzen bedeckten Fläche.
-Der Anteil der in 5 Jahren verbrennenden Pflanzen bleibt über die Jahre hinweg konstant.
-Das Gebiet ist 1000km² groß
Der Folgende Graph beschreibt die Entwicklung in 5 Jahren:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Aufgabe lautet: Begründen Sie, warum für alle vier Klassen Vi+ni=1 gelten muss.
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Ich würde gerne wissen, ob meine Antwort richtig ist. Falls nicht würde ich mich über eine Korrektur freuen :)
Meine Idee: Für alle Klassen gilt Vi+ni=1, da es sich hierbei um relative Häufigkeitenhandelt. Zudem stellen die Werte Verhältnisgrößen, also Prozente, zu den Klassen gehörigen Flächenbedeckung dar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Folgendes Modell gibt die Siutation der Population der
> Pflanze Macchie wieder:
>
Moin,
da krieg' ich schon gleich am Morgen die Vollkrise:
stand das etwa so in der Aufgabe???
"Macchie" ist keine Pflanze...
Neue Teilaufgabe:
Informiere Dich über Macchie und diskutiere mit Deinem Nachbarn darüber..
> - Die Vegetation wird entsprechend ihrem Alter in vier
> Klassen eingeteilt:
> Klasse A: 0-5 Jahre; Klasse B: 5-10 Jahr; Klasse C: 10-15
> Jahre; Klasse D: 15 und älter
>
> -Die Größe einr Klasse ist nicht die Anzahl der Pflanzen,
> sondern die Größe der von den Pflanzen bedeckten
> Fläche.
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> -Der Anteil der in 5 Jahren verbrennenden Pflanzen bleibt
> über die Jahre hinweg konstant.
>
> -Das Gebiet ist 1000km² groß
>
> Der Folgende Graph beschreibt die Entwicklung in 5 Jahren:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Die Aufgabe lautet: Begründen Sie, warum für alle vier
> Klassen Vi+ni=1 gelten muss.
>
> Ich würde gerne wissen, ob meine Antwort richtig ist.
> Falls nicht würde ich mich über eine Korrektur freuen :)
Deine Matrix ist richtig.
Wenn die Flächen, die von Vegetation der Klasse A neu besiedelt werden, die Flächen sind, die durch Brand freigeworden sind, istr auch Deine Tabelle zu den verbrennenden Anteilen richtig.
>
> Meine Idee: Für alle Klassen gilt Vi+ni=1, da es sich
> hierbei um relative Häufigkeitenhandelt.
Das ist für mich kein überzeugendender Grund.
Durch meine Straße fahren 20% weiße Autos.
Sind dann 80% der Autos rot? Nein.
80% sind nichtweiß.
> Zudem stellen die
> Werte Verhältnisgrößen, also Prozente, zu den Klassen
> gehörigen Flächenbedeckung dar.
Ich mit meiner Hausfrauenlogik antworten: die Fläche besteht nur aus verbrennenden Anteilen und nichtverbrennenden Anteilen, eine dritte Möglichkeit gibt es nicht.
Die verbrennenden und nichtverbrennenden Anteile ergeben folglich zusammen die Gesamtfläche, also 100% der Fläche.
LG Angela
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Dankeschön Angela für die Korrektur und für die Antwort :)
Du hast mir sehr geholfen, Danke!
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| Aufgabe | Folgendes Modell gibt die Siutation der Population der Pflanze Macchie wieder:
- Die Vegetation wird entsprechend ihrem Alter in vier Klassen eingeteilt:
Klasse A: 0-5 Jahre; Klasse B: 5-10 Jahr; Klasse C: 10-15 Jahre; Klasse D: 15 und älter
-Die Größe einr Klasse ist nicht die Anzahl der Pflanzen, sondern die Größe der von den Pflanzen bedeckten Fläche.
-Der Anteil der in 5 Jahren verbrennenden Pflanzen bleibt über die Jahre hinweg konstant.
-Das Gebiet ist 1000km² groß
Die Folgende Übergangsmatrix beschreibt die Entwicklung in 5 Jahren:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aufgabe: Untersuche, ob es eine Machie-Verteilung gibt, die ihre Klassengröße innerhalb von 5 Jahren nicht verändert. |
Wie genau geht man hierbei vor?
Habe bereits einmal per Linearen Gleichung-System versucht M*(x,y,z,w)=V gleichzusetzen und ein Ergebnis herausbekommen, aber ich denke es ist falsch... :/
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Folgendes Modell gibt die Siutation der Population der
> Pflanze Macchie wieder:
>
> - Die Vegetation wird entsprechend ihrem Alter in vier
> Klassen eingeteilt:
> Klasse A: 0-5 Jahre; Klasse B: 5-10 Jahr; Klasse C: 10-15
> Jahre; Klasse D: 15 und älter
>
> -Die Größe einr Klasse ist nicht die Anzahl der Pflanzen,
> sondern die Größe der von den Pflanzen bedeckten
> Fläche.
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> -Der Anteil der in 5 Jahren verbrennenden Pflanzen bleibt
> über die Jahre hinweg konstant.
>
> -Das Gebiet ist 1000km² groß
>
> Die Folgende Übergangsmatrix beschreibt die Entwicklung in
> 5 Jahren:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Aufgabe: Untersuche, ob es eine Machie-Verteilung gibt, die
> ihre Klassengröße innerhalb von 5 Jahren nicht
> verändert.
> Wie genau geht man hierbei vor?
>
> Habe bereits einmal per Linearen Gleichung-System versucht
> M*(x,y,z,w)=V gleichzusetzen und ein Ergebnis
> herausbekommen, aber ich denke es ist falsch... :/
Hallo,
überlege: Du willst eine Verteilung (x,y,z,w) haben, die nach 5 Jahren exakt genauso ist,
für die also M*(x,y,z,w)=1*(x,y,z,w) gilt.
Zusätzlich muß, sofern Du nach [mm] km^2 [/mm] rechnest, gelten x+y+z+w=1000,
rechnest Du mit Anteilen, dann ist x+y+z+w=1=100%.
Du hattest, bevor Dein Post auf die Reise in den richtigen Thread gegangen ist, als Überschrift "Eigenwert" oder "Eigenvektor" oder so.
Das paßte ganz gut: Du suchst einen passenden Eigenvektor zum Eigenwert 1.
LG Angela
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Du hattest, bevor Dein Post auf die Reise in den richtigen
> Thread gegangen ist, als Überschrift "Eigenwert" oder
> "Eigenvektor" oder so.
> Das paßte ganz gut: Du suchst einen passenden Eigenvektor
> zum Eigenwert 1.
Hmm.. Ich habs wirklich leider nicht so ganz verstanden :S Leider weiß ich nämlich nicht mehr ganz genau wie man den Eigenwert und Eigenvektor ausrechnet.. Wie war dass den nochmal genau? (Sorry für die imkompetenz^^)
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> > Du hattest, bevor Dein Post auf die Reise in den richtigen
> > Thread gegangen ist, als Überschrift "Eigenwert" oder
> > "Eigenvektor" oder so.
> > Das paßte ganz gut: Du suchst einen passenden
> Eigenvektor
> > zum Eigenwert 1.
>
> Hmm.. Ich habs wirklich leider nicht so ganz verstanden :S
> Leider weiß ich nämlich nicht mehr ganz genau wie man den
> Eigenwert und Eigenvektor ausrechnet.. Wie war dass den
> nochmal genau? (Sorry für die imkompetenz^^)
Hallo,
Inkompetenz ist das nicht - man kann ja nicht immer alles wissen.
Allerdings könnte man es im schlauen Schulbuch nachschlagen...
Wichtiger
als "Eigenvektor" und "Eigenwert" finde ich aber, daß Dir klar ist, daß das Gleichungssystem
M*(x,y,z,w)=(x,y,z,w)
zu lösen ist.
Wieso dieses Gleichugssystem?
Deshalb:
wenn (x,y,z,w) eine Verteilung ist, dann liefert Dir M*(x,y,z,w) die neue Verteilung, die man eine Periode später, hier: 5 Jahre später hat.
Und Du willst ja haben: neue Verteilung = alte Verteilung, also
M*(x,y,z,w) =(x,y,z,w),
zusätzlich halt x+y+z+w=1000 oder x+y+z+w=1, je nachdem, was Dir vorschwebt.
Stell mal das Gleichungssystem auf und versuche, es zu lösen.
Über Eigenvektoren usw. können wir uns später gerne noch unterhalten, wenn Du unabhängig von dieser Aufgabe Bedarf hast.
Du solltest dann aber auch sagen, was Du über das Thema weißt.
LG Angela
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Ich habe das LGS aufgestellt, jedoch kriege ich keine Lösung raus. Selbst mein CAS liefert mir x=0,41*w, y=0,41*w, z= 0,4*w, w=w.
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> Ich habe das LGS aufgestellt, jedoch kriege ich keine
> Lösung raus. Selbst mein CAS liefert mir x=0,41*w,
> y=0,41*w, z= 0,4*w, w=w.
Hallo,
doch: Du hast herausgefunden, daß M*(x,y,z,w)=(x,y,z,w) gelöst wird,
sofern man es so einrichtet, daß bei beliebigem w gilt
> x=0,41*w,
> y=0,41*w,
z= 0,4*w.
Egal, welches w Du nimmst, Du bekomms nach dieser "Bauanleitung" einen Lösungsvektor des Systems.
Nun gab es aber eine weitere Gleichung, die Du bisher nicht berücksichtigt hast:
x+y+z+w=1000,
also 1000=0,41*w+0,41*w+0,4*w+w=2.22 ==> [mm] w\approx [/mm] 450.
Damit kennst Du dann die Anteile, bei denen der Prozeß stationär wird.
LG Angela
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> Nun gab es aber eine weitere Gleichung, die Du bisher nicht
> berücksichtigt hast:
> x+y+z+w=1000,
> also 1000=0,41*w+0,41*w+0,4*w+w=2.22 ==> [mm]w\approx[/mm] 450.
Sehe ich das richtig, dass du die Faktoren addiert wurden und daher der Wert 2.22 am Ende stehen? Frage mich warum?
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> > x+y+z+w=1000,
> > also [mm] 1000=0,41*w+0,41*w+0,4*w+w=2.22\red{w} [/mm] ==> [mm]w\approx[/mm] 450.
Hallo,
ich hatte das nun eigefügte w vergessen.
Alle Anteile zusammen sind 2.22w, und sie müssen die Gesamtfläche ergeben, also [mm] 1000[km^2].
[/mm]
Also
1000=2.2w,
und daraus ergibt sich [mm]w\approx[/mm] 450.
Und wenn Du w kennst, kennst Du die anderen Anteile auch, denn sie sind Vielfache von w.
LG Angela
>
> Sehe ich das richtig, dass du die Faktoren addiert wurden
> und daher der Wert 2.22 am Ende stehen? Frage mich warum?
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Ahhh Danke! Ich dachte schon dass, ich jetzt schon keine Äquivalenzumformung mehr hinkriege.. :P
> > > x+y+z+w=1000,
> > > also [mm]1000=0,41*w+0,41*w+0,4*w+w=2.22\red{w}[/mm]
>
> ich hatte das nun eigefügte w vergessen.
> Alle Anteile zusammen sind 2.22w, und sie müssen die
> Gesamtfläche ergeben, also [mm]1000[km^2].[/mm]
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> Also
> 1000=2.2w,
Aber dann müsste doch 1000=1.2w ergeben
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Hallo,
0.41+0.41+0.4+1=?
Gruß, Diophant
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Jetzt habe ich das w vergessen :D
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| Aufgabe | Aufgabe: Untersuche, ob es eine Machie-Verteilung gibt, die
ihre Klassengröße innerhalb von 5 Jahren nichtverändert. |
Okay, dank eurer Hilfe könnte ich jetzt den Vektor [mm] \vektor{185 \\ 183 \\ 280 \\ 450} [/mm] berechnen, sodass [mm] M*\vektor{185 \\ 183 \\ 280 \\ 450} =\vektor{185 \\ 183 \\ 280 \\ 450} [/mm] ergibt.
Muss ich jetzt noch etwas berechnen um die Aufgabe fertig zu stellen oder ist es jetzt schon die Lösung?
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Hallo,
> Aufgabe: Untersuche, ob es eine Machie-Verteilung gibt,
> die
> ihre Klassengröße innerhalb von 5 Jahren
> nichtverändert.
> Okay, dank eurer Hilfe könnte ich jetzt den Vektor
> [mm]\vektor{185 \\ 183 \\ 280 \\ 450}[/mm] berechnen, sodass
> [mm]M*\vektor{185 \\ 183 \\ 280 \\ 450} =\vektor{185 \\ 183 \\ 280 \\ 450}[/mm]
> ergibt.
> Muss ich jetzt noch etwas berechnen um die Aufgabe fertig
> zu stellen oder ist es jetzt schon die Lösung?
vorausgesetzt, du hast richtig gerechnet, dann ist der Vektor deine Lösung.
Gruß, Diophant
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