Behauptung zurückweisen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Di 22.05.2007 | | Autor: | Beliar |
| Aufgabe | Zur Montage eines Gerätes benötigt eine Firma ein Verbindungsteil V, das nicht im eigenen Haus hergestellt wird. Der Hersteller von V behauptet, dass der Ausschussanteil höchstens 10% beträgt.
Der Hersteller von V bietet an, dass man seine Lieferung zurückweisen kann, wenn in einer Stichprobe von 100 Teilen mekr als k defekt sind. Füe welchen Wert von k kann man mit mindestens 95% Sicherheit die Behauptung des Hersteller zurückweisen? |
Hallo,
ich bin hier etwas verunsichert, da wir uns größtenteils mit Testen von Hypothesen beschäftigt haben. Mag jemand von euch hier mal rüberblicken und mich auf Fehler aufmerksam machen, oder falls ich etwas vergessen habe.
Habe p=0,1 und n=100
um die Menge zu bestimmen gehe ich davon aus, dass maximal 4 Teile defekt sein dürfen, da er ja mindesten 95% Sicherheit verspricht. Dann schaue ich in die Tabelle und finde bei 4 einen Wert von 0,024 ist also im Rahmen, bei 5 sind es 0,058 also schon zu viel.
Es dürfen also maximal 4 Teile defekt sein, damit sein Versprechen stimmt. So verstehe ich die Aufgabe, oder irre ich mich hier?
Danke für jeden Hinweis
Beliar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Di 22.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
mal rein logisch gesehen stimme ich deinem Ergebnis nicht zu:
maximal 10% der Teile seien kaputt.
100 Teile überprüfst du.
Dann erwarte ich doch schon 10 defekte Teile, das ist doch dann völlig normal.
Wenn du dann schon bei 4 ablehnst ist die Sicherheitswahrscheinlichkeit doch sehr sehr gering.
Ich würde das so ansetzen:
X: Anzahl der defekten Teile
X ist B(100;0.1)-verteilt (also n=100 und p=0.1)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als k Teile bei p=0.1 defekt ist, soll kleiner als 5% sein:
P(X>k)<=0.05
1-P(X<=k)<=0.05
P(X<=k)>=0.95
Sprich: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man weniger oder gleich viele defekte Teile wie k defekte Teile findet, soll größer gleich 95% sein.
Das ganze jetzt nochmal in der kumulierten Tabelle nachsehen, und einen Wert ablesen, für den P(X<=k)>=0.95 gilt.
Dann nimmt man i.d.R. den ersten Wert, für den das gilt.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 22.05.2007 | | Autor: | Beliar |
dann dürften ja 14 defekt sein. Das sind aber etwas mehr als 5%, nähmlich 14%. Was mache ich da falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Di 22.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
mit den 5% meint man nicht die prozentuale Anzahl der defekten Teile.
Man spricht hier ja von der Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95%.
D.h. in nur 5% der Fälle soll es bei der Verteilung n=100 p=0.1 vorkommen, dass man mehr als k defekte Elemente findet.
Sprich: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man mehr als k Elemente findet, soll bei wahrer Aussage des Händlers kleiner als 5% sein!
Das hat nichts mit den Anteilen der defekten Teile zu tun.
Mach dir die Logik nochmal klar:
Man will nur in 5% der Fälle zu unrecht die Behauptung des Händlers ablehnen.
Das macht man dann, wenn p tatsächlich kleiner gleich 10% ist.
Sprich: Man sucht sich die Grenze so aus, dass bei einer Verteilung von n=100 und p=10%, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man eben mehr als k defekte Elemente findet, geringer als 5% ist.
So kann man dann mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% die Behauptung des Händlers ablehnen, da man nur in 5% der Fälle ablehnt, obwohl man es nicht darf.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Di 22.05.2007 | | Autor: | Beliar |
also ich kann da nicht folgen, er darf bei 100 Teilen maximal 10 defekte haben, und alle sind zufrieden. dann wäre k=10 oder nicht? aber was sagen diese 95%Sicherheit aus, damit komme ich nicht klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Di 22.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du solltest doch den Fehler 1. Art kennen und den Fehler 2. Art.
Ich lege jetzt mal einfach eine Zahl fest, aber der ich sage: Ich behaupte, dass die Behauptung des Herstellers, dass p<=10% sei, falsch ist. Ich sage mal, dass ab 15 defekten Teilen die Aussage falsch ist.
Nun gut....ich finde jetzt 15 (oder mehr) defekte Teile, und ich behaupte, dass die Aussage des Händlers, dass p<=10% ist, falsch sei.
Jetzt kann es aber doch sein, dass p tatsächlich 10% ist, ich aber, weil es der Zufall so wollte, tatsächlich einfach mal in den 100 Probeartikeln 15 Fehlerhafte gefunden habe.
Ich habe vorher festgelegt, dass ich dann die Behauptung des Händlers ablehne. Aber zu einer gewissen Wahrscheinlichkeit kann es doch dennoch sein, dass ich selbst bei nur 10% fehlerhaften Teilen mehr als 15 finde.
Die Wahrscheinlichkeit hierfür kannst du ja ausrechnen.
Nun hast du die Wahrscheinlichkeit, mit der das obige beschriebene Ereignis eintrifft, gegeben: Nämlich die 5%.
Und jetzt sollst du die Grenze bestimmen, für die gilt, dass die Wahrscheinlichkeit für mehr als k Artikel kleiner gleich 5% ist bei p=10%.
Die Sache ist doch die: Selbst wenn ich jetzt (von dem Beispiel oben) meine 15 defekten Teile finde, kann ich doch nicht zu 100%iger Sicherheit sagen, dass die Aussage des Händelers falsch ist.
Ich kann nur sagen: Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 15 fehlerhafte Artikel bei n=100 und p=10% ist so gering, dass ich einfach davon ausgehen kann.
Und eben diese Wahrscheinlichkeit soll in deinem Beispiel kleiner gleich 5% sein, damit du zu 95%iger Sicherheit sagen kannst: Die Aussage des Händlers stimmt nicht.
Ich hoffe, du verstehst jetzt die Logik beim Hypothesentest, und verstehst meine Bedingung, die ich vorher schon aufgestellt habe.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 22.05.2007 | | Autor: | Beliar |
Wäre es dann so: Ich verwerfe die Hypo wenn mehr als 10 Teile defekt sind.
[mm] P(X\le10)= [/mm] 0,583
1-0,583=0,417 wäre dann [mm] \alpha [/mm] istaber zu groß
also suche ich den passenden Wert in der Tabelle:15 =0.960
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Di 22.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, wie gesagt...
Wenn du die logik richtig vollziehst, und k die Grenze ist, bei der gerade noch Angenommen wird, muss gelten:
P(X>k)<=0.05
1-P(X<=k)<=0.05
P(X<=k)>=0.95
Und wenn in deiner kumulierten Tabelle für X<=15 das erste mal die Wahrscheinlichkeit größer als 95% ist, dann ist das deine Grenze, aber der du noch gerade annimmst.
Ab 16 lehnst du dann ab.
Kann das leider nicht nachsehen, da ich keine kumulierte Tabelle mehr hier liegen habe.
LG
Kroni
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