Beispiel eines Artin-Ring < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich brauche für einen Vortrag ein Beispiel für einen nicht kommutativen Artin'schen Ring, also
1) die Multiplikation darf nicht kommutativ sein
2) eine absteigende Kette von Unteridealen [mm] (a_{1} \supset a_{2} \supset a_{3} \supset [/mm] ... ) muss abbrechen
3) es muss die Minimalbedingung für Unterideale gelten.
Also bei "nicht kommutativ" habe ich sofort an die Matrizen gedacht, beispielsweise GL(2x2, [mm] \IR). [/mm] Aber wie bekomme ich da die Minimalbedingung mit rein oder wie bekomme ich da eine endende absteigende Unteridealkette?
Dann habe ich auch schonmal versucht, irgendwie mit Mengen von Homomorphismen einen Ring zu basteln, oder die Symmetrische Gruppe mit ner Multiplikation zu versehen, oder mit den Potenzmengen einer endlichen Menge einen Ring zu bauen, hat alles irgendwie nicht hingehauen.
Ich wäre für eure Hilfe echt dankbar.
Vilo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Do 23.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich brauche für einen Vortrag ein Beispiel für einen nicht
> kommutativen Artin'schen Ring, also
> 1) die Multiplikation darf nicht kommutativ sein
> 2) eine absteigende Kette von Unteridealen [mm](a_{1} \supset a_{2} \supset a_{3} \supset[/mm]
> ... ) muss abbrechen
> 3) es muss die Minimalbedingung für Unterideale gelten.
Was ist die Minimalbedingung fuer Unterideale?
> Also bei "nicht kommutativ" habe ich sofort an die Matrizen
> gedacht, beispielsweise GL(2x2, [mm]\IR).[/mm] Aber wie bekomme ich
> da die Minimalbedingung mit rein oder wie bekomme ich da
> eine endende absteigende Unteridealkette?
Jedes Ideal ist ein [mm] $\IR$-Untervektorraum [/mm] vom vierdimensionalen [mm] $\R$-Vektorraum [/mm] $GL(2x2, [mm] \IR)$. [/mm] Die Kettenbedingung bekommst du damit geschenkt. 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Do 23.03.2006 | | Autor: | Vilologe |
Also Minimalbedingung bedeutet, dass jede Menge von Unteridealen ein kleinstes Element - also ein Minimum - besitzt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Do 23.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Also Minimalbedingung bedeutet, dass jede Menge von
> Unteridealen ein kleinstes Element - also ein Minimum -
> besitzt.
Die ist bei $GL(n [mm] \times [/mm] n, K)$ (mit $K$ einem Koerper) auch erfuellt, das folgt ebenfalls aus dem Dimensionsargument.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Fr 24.03.2006 | | Autor: | Vilologe |
| Aufgabe | | Jedes Ideal ist ein $ [mm] \IR [/mm] $-Untervektorraum vom vierdimensionalen $ [mm] \R [/mm] $-Vektorraum $ GL(2x2, [mm] \IR) [/mm] $. |
Also das versteh ich jetzt nicht ganz. Eine 2x2 Matrix ist doch stellvertretend für ne Abbildung von einem zweidimensionalen VR in einen zweidimensionalen VR. Was ist denn da jetzt vierdimensional?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Fr 24.03.2006 | | Autor: | felixf |
Sali!
> Jedes Ideal ist ein [mm]\IR [/mm]-Untervektorraum vom
> vierdimensionalen [mm]\IR [/mm]-Vektorraum [mm]GL(2x2, \IR) [/mm].
Was mir gerade auffaellt: Du meinst mit $GL(2 [mm] \times [/mm] 2, [mm] \IR)$ [/mm] doch die Menge aller $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen und nicht nur die invertierbaren, oder? Ansonsten ist das kein Ring! (Und wenn du nur mit den invertierbaren Matrizen arbeitest klappt das mit den Dimensionsargumenten auch nicht, da du keinen Vektorraum hast: es fehlt die additive Struktur, die aber auch fuer einen Ring fehlt...)
> Also das
> versteh ich jetzt nicht ganz. Eine 2x2 Matrix ist doch
> stellvertretend für ne Abbildung von einem
> zweidimensionalen VR in einen zweidimensionalen VR. Was ist
> denn da jetzt vierdimensional?
Du kannst die Menge der $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen auch als Vektorraum auffassen! Skalarmultiplikation und Addition sind 'wie gehabt', also Komponentenweise. Und das der Vektorraum vierdimensional ist, siehst du daran das die folgenden Matrizen eine Basis bilden: [mm] $\pmat{1 & 0 \\ 0 & 0}$, $\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}$, $\pmat{0 & 0 \\ 1 & 0}$ [/mm] und [mm] $\pmat{0 & 0 \\ 0 & 1}$.
[/mm]
(Die linearen Abbildungen von einem $K$-Vektorraum $V$ in einen anderen $K$-Vektorraum $W$ bilden uebrigens ebenso einen $K$-Vektorraum, welcher mit dem $K$-Vektorraum der [mm] $(\dim [/mm] V) [mm] \times (\dim [/mm] W)$-Matrizen identifiziert werden kann.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 29.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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