Beispiel für eine Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Di 25.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für eine Teilmenge [mm] M \subseteq S_3, M \not= S_3 [/mm], die mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe bildet. |
Vorab: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Die Permutationen von [mm] S_3 [/mm] sind 123,132,213,231,312,321.
Ist dann z.B. [mm] M_1=\{1,2\} [/mm] eine Teilmenge von [mm] S_3 [/mm] oder
[mm] M_2=\{\{1,2,3\},\{1,3,2\}\} [/mm] ?
Könnte das eine Abbildung für die Aufgabe sein: [mm] f(m)= m+1 [/mm] für alle [mm] m \le 2 [/mm], sonst m=1.
Danke, Susanne.
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> Geben Sie ein Beispiel für eine Teilmenge [mm]M \subseteq S_3, M \not= S_3 [/mm],
> die mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe
> bildet.
> Die Permutationen von [mm]S_3[/mm] sind 123,132,213,231,312,321.
Hallo,
mir macht Deine Schreibweise etwas Mühe - obgleich ich glaube, sie zu verstehen.
Permutationen schreibt man ja normalerweise als Zykeln oder zweizeilig, und ich glaube, daß Du letzteres meinst, also
[mm] S_3=\left\{\pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 2 &3}, \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 3 &2}, \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 2 & 1 &3}, \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 2 & 3 &1}, \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 3 & 1 &2}, \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 3 & 2 &1}\right\} [/mm] .
> Ist dann z.B. [mm]M_1=\{1,2\}[/mm] eine Teilmenge von [mm]S_3[/mm]
wie das eine Teilmenge sein soll, weiß ich wirklich nicht. 1 und 2 kommen doch oben in [mm] S_2 [/mm] bei Dir gar nicht als Elemente vor.
oder
> [mm]M_2=\{\{1,2,3\},\{1,3,2\}\}[/mm] ?
In meiner Schreibweise
[mm] M_2=\left\{\pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 2 &3}, \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 3 &2}\right\} [/mm] .
Eine Teilmenge ist das gewiß, und außerdem ist sie mit der Hintereinanderausführung (Komposition) von Abbildungen eine Gruppe, denn es ist
[mm] \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 2 &3}\circ \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 2 &3}=\pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 2 &3}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 2 &3}\circ \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 3 &2}= \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 3 &2}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 3 &2}\circ \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 2 &3}= \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 3 &2}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 3 &2}\circ \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 3 &2}=\pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 2 &3}, [/mm] also eine schöne zweielementige Gruppe.
Ich glaube, daß Du das mit den Permutationen noch nicht verstanden hast.
Die Permutationen von 3 sind jeweils Abbildungen von [mm] \{1,2,3\} [/mm] auf sich selber.
[mm] \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 1 & 3 &2} [/mm] ist eine Schreibweise für die Permutation p, welche folgendes tut:
p: [mm] \{1,2,3\}\to \{1,2,3\}
[/mm]
p(1):=1
p(2):=3
p(3):=2
Es ist also die Permutation, welche die 1 festläßt und 2 und 3 vertauscht.
Führt man sie zweimal hintereinander aus, ist man wieder bei id, denn
[mm] p\circ [/mm] p(1)=p(p(1))=p(1)=1,
die anderen beiden schreib Dir selbst auf.
Du kannst Dir diese Permutationen an den Abbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich selbst klarmachen:
die eben beschriebene Abbildung ist die Spiegelung an der Achse, die durch die Ecke 1 geht.
Entsprechend gibt es zwei weitere Spiegelungen und dann noch die Drehungen um 120 und 240° und die Identität.
Überleg Dir die sache mal unter diesem Aspekt, so kann man sie sich ja richtig vorstellen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Di 25.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
VIELEN VIELEN Dank für deine ausführliche Erklärung !
> [mm]p\circ[/mm] p(1)=p(p(1))=p(1)=1,
>
> die anderen beiden schreib Dir selbst auf.
[mm] p \circ p(2) = p(p(2)) = p(3) = 2 [/mm]
[mm] p \circ p(3) = p(p(3)) = p(2) = 3 [/mm]
LG, Susanne.
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