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Guten Tag!
Ich bin schon den ganzen Tag auf der Suche nach Beispielen von Integritätsringen, die gewisse Eigenschaften besitzen bzw. nicht besitzen. Aber oft scheitert es daran, dass man nur die "simplen" Integritätsringe wie [mm]\IZ[\wurzel{m}][/mm] mit [mm]m \in \IZ[/mm] oder Polynomringe findet. Ich würde mich um ein paar Beispiele freuen!
i) Ein Integritätsring, in denen nicht unbedingt eine endliche Zerlegung (einer Nichteinheit ungleich 0) in irreduzible Elemente existieren muss. (Man braucht anscheinend einen Integritätsring in denen sich eine Teilerkette [mm] (a)_{n\in\IN} [/mm] von Elementen des Integritätsringes finden kann mit [mm] \forall n\in\IN [/mm] gilt [mm] a_{n+1}|a_{n}, [/mm] sodass [mm] (a)_{n\in\IN} [/mm] nicht stationär wird.)
ii) Ein faktorieller Ring, der nicht euklidisch ist
iii) Besitzt jeder Integritätsring eine Normfunktion?
Vielen Dank schonmal in Voraus!
MfG, #
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 So 01.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich bin schon den ganzen Tag auf der Suche nach Beispielen
> von Integritätsringen, die gewisse Eigenschaften besitzen
> bzw. nicht besitzen. Aber oft scheitert es daran, dass man
> nur die "simplen" Integritätsringe wie [mm]\IZ[\wurzel{m}][/mm] mit
> [mm]m \in \IZ[/mm] oder Polynomringe findet. Ich würde mich um ein
> paar Beispiele freuen!
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> i) Ein Integritätsring, in denen nicht unbedingt eine
> endliche Zerlegung (einer Nichteinheit ungleich 0) in
> irreduzible Elemente existieren muss. (Man braucht
> anscheinend einen Integritätsring in denen sich eine
> Teilerkette [mm](a)_{n\in\IN}[/mm] von Elementen des
> Integritätsringes finden kann mit [mm]\forall n\in\IN[/mm] gilt
> [mm]a_{n+1}|a_{n},[/mm] sodass [mm](a)_{n\in\IN}[/mm] nicht stationär
> wird.)
Betrachte den Ring $R$ der Funktionen [mm] $\IC \to \IC$, [/mm] die holomorph sind. Die Funktionen [mm] $f_\alpha(z) [/mm] = z - [mm] \alpha$, $\alpha \in \IC$ [/mm] sind irreduzibel (genauer: sie sind prim). Allerdings ist z.B. [mm] $\sin [/mm] z$ eine Funktion, die sich durch jedes [mm] $f_{\pi k}$, [/mm] $k [mm] \in \IZ$ [/mm] teilen laesst, jedoch nicht als Produkt von endlich vielen solchen Elementen schreiben laesst.
> ii) Ein faktorieller Ring, der nicht euklidisch ist
Der Ring [mm] $\IZ[\frac{1 + i \sqrt{19}}{2}]$ [/mm] von [mm] $\IC$ [/mm] ist faktoriell (sogar ein Hauptidealbereich), jedoch nicht Euklidisch.
Zeigen dass ein Ring nicht euklidisch ist (obwohl er ein Hauptidealring ist) ist gar nicht so einfach. ![[]](/images/popup.gif) Dieses Paper wird dir weiterhelfen wenn du mehr ueber die Materie wissen willst.
> iii) Besitzt jeder Integritätsring eine Normfunktion?
Die Frage ist: was fuer Eigenschaften soll so eine Normfunktion haben? Du kannst immer $N(x) = 1$ falls $x [mm] \neq [/mm] 0$ und $N(0) = 0$ definieren. Oder $N(x) = 1$ fuer Einheiten, $N(x) = 2$ fuer Nichteinheiten [mm] $\neq [/mm] 0$, und $N(0) = 0$. Nur bringt dir das nicht viel.
Allgemein hat du bei endlichen Koerpererweiterungen $L/K$ immer eine Norm (du betrachtest zu $x [mm] \in [/mm] L$ den $K$-Vektorraumendomorphismus $y [mm] \mapsto [/mm] x y$ von $L$, und nimmst dessen Determinante, dann bekommst du eine Funktion [mm] $N_{L/K} [/mm] : L [mm] \to [/mm] K$), und falls du in $K$ einen ganzabgeschlossenen Ring $R$ hast und einen Unterring $S$ in $L$, der ganz ueber $R$ ist, dann hast du auch eine Normfunktion $N : S [mm] \to [/mm] R$. (Den Fall $K = [mm] \IQ$, [/mm] $R = [mm] \IZ$, [/mm] $L = [mm] \IQ(\sqrt{m})$, [/mm] $S = [mm] \IZ[\sqrt{m}]$ [/mm] kennst du. Du kannst aber auch $K = k(x)$, $R = k[x]$ etc. nehmen.)
LG Felix
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