Beispiele für euklidisch < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:21 Do 24.11.2011 | | Autor: | Schmetterfee |
Hallöchen,
ich bin immer noch am Vorlesung nacharbeiten und merke, dass unsere Vorlesungsstruktur nicht gerade vorteilhaft ist. So weiß ich mit einem Beispiel einfach nix anzufangen und hoffe, dass mich jemand hier erleuchten kann.
R heißt euklidisch [mm] \gdw \exists [/mm] v: [mm] R\{0\} \to \IN_{0} [/mm] mit: zu a,b [mm] \in [/mm] R und b [mm] \not= [/mm] 0 existiert q [mm] \in [/mm] R mit a=qb oder es gibt r [mm] \in [/mm] R, so dass a=qb+r, v(r)<v(b)
Im Anschluss an die Definition lieferte der Professor ein Beispiel was ich nicht ganz verstehe und zwar:
R: [mm] \IZ[i]: [/mm] Setze [mm] v(x+iy)=x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)= [/mm] N(x+iy)
N(z*z')=N(z)N(z'), [mm] N(z)=||z||^2
[/mm]
Bis hier hat er doch eigentlich nur die Normfunktion eingeführt oder? aber was nun kommt verstehe ich nicht ganz wie das inhaltlich dazu passt bzw. was mir das sagen soll
Schreibe [mm] \bruch{a}{b}=a_{1}+a_{2}i [/mm] mit [mm] a_{i} \in \IQ [/mm] und finde [mm] q_{1}, q_{2} \in \IZ [/mm] so dass [mm] |a_{i}-q_{i}< \le \bruch{1}{2} [/mm] für i=1,2
Setze [mm] q=q_{1}+iq_{2} [/mm] und r=a-qb.
Haben [mm] \bruch{v(r)}{v(s)}=v(\bruch{r}{s})=v(\bruch{a}{s}-q)=(a_{1}-q_{1})^2+(a_{2}-q^{2})^2 \le \bruch{1}{2} [/mm] <1, v(r)<v(s)
Was rechnen wir denn hier hin und her um was überhaupt zu zeigen, kann damit irgendjemand was anfangen und mir das erklären? Ich sehe da wirklich gar nicht durch. :-(
LG Schmetterfee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Do 24.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Hallöchen,
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> ich bin immer noch am Vorlesung nacharbeiten und merke,
> dass unsere Vorlesungsstruktur nicht gerade vorteilhaft
> ist. So weiß ich mit einem Beispiel einfach nix anzufangen
> und hoffe, dass mich jemand hier erleuchten kann.
>
> R heißt euklidisch [mm]\gdw \exists[/mm] v: [mm]R\{0\} \to \IN_{0}[/mm] mit:
> zu a,b [mm]\in[/mm] R und b [mm]\not=[/mm] 0 existiert q [mm]\in[/mm] R mit a=qb oder
> es gibt r [mm]\in[/mm] R, so dass a=qb+r, v(r)<v(b)
>
> Im Anschluss an die Definition lieferte der Professor ein
> Beispiel was ich nicht ganz verstehe und zwar:
> R: [mm]\IZ[i]:[/mm] Setze [mm]v(x+iy)=x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)=[/mm] N(x+iy)[/i][/mm]
> [mm][i] N(z*z')=N(z)N(z'), [mm]N(z)=||z||^2[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i][blue]Bis hier hat er doch eigentlich nur die Normfunktion [/blue][/i][/mm]
> [mm][i][blue]eingeführt oder? aber was nun kommt verstehe ich nicht [/blue][/i][/mm]
> [mm][i][blue]ganz wie das inhaltlich dazu passt bzw. was mir das sagen [/blue][/i][/mm]
> [mm][i][blue]soll[/blue][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Schreibe [mm]\bruch{a}{b}=a_{1}+a_{2}i[/mm] mit [mm]a_{i} \in \IQ[/mm] und [/i][/mm]
> [mm][i]finde [mm]q_{1}, q_{2} \in \IZ[/mm] so dass [mm]|a_{i}-q_{i}< \le \bruch{1}{2}[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]für i=1,2[/i][/mm]
> [mm][i] Setze [mm]q=q_{1}+iq_{2}[/mm] und r=a-qb.[/i][/mm]
> [mm][i] Haben [/i][/mm]
> [mm][i][mm]\bruch{v(r)}{v(s)}=v(\bruch{r}{s})=v(\bruch{a}{s}-q)=(a_{1}-q_{1})^2+(a_{2}-q^{2})^2 \le \bruch{1}{2}[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]<1, v(r)
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i][blue]Was rechnen wir denn hier hin und her um was überhaupt zu [/blue][/i][/mm]
> [mm][i][blue]zeigen, kann damit irgendjemand was anfangen und mir das [/blue][/i][/mm]
> [mm][i][blue]erklären? Ich sehe da wirklich gar nicht durch. :-([/blue][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]LG Schmetterfee [/i][/mm]
Er weist die Existenz des $q$ und $r$ mit den entsprechenden Eigenschaften nach: es soll ja nicht irgendeine Normfunktion,sondern eine mit besonderen Eigenschaften sein.
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Hallöchen,
okay so macht das denn auch alles mehr Sinn. Aber inweit weist er denn die existenz nach? er sagt doch nur wir finden [mm] q_{i}, [/mm] so dass das gilt. Das ist mir irgendwie noch nicht ganz klar?! Aber die Rechnung ergibt zumindestens schon mal Sinn^^
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Fr 25.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Hallöchen,
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> okay so macht das denn auch alles mehr Sinn. Aber inweit
> weist er denn die existenz nach? er sagt doch nur wir
> finden [mm]q_{i},[/mm] so dass das gilt. Das ist mir irgendwie noch
> nicht ganz klar?! Aber die Rechnung ergibt zumindestens
> schon mal Sinn^^
>
> LG Schmetterfee
Moin Schmetterfee,
das $q$ wurde aus dem Element [mm] $\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}[i]$ [/mm] konstruiert; das $r$ ergab sich dann automatisch als $r= a-qb$. In dem Deinem Text hat sich zum Ende hin ein SChreibefhler eingeschlichen: Es wird dort immer mit $s$ gerechnet, aber es muesste $b$ heissen.
Uebrigens sind nicht alle Ringe der Form [mm] $\IZ[\sqrt{d}]$ [/mm] euklidisch.
Schoenen Tag noch!
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Hallöchen
> das [mm]q[/mm] wurde aus dem Element [mm]\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}[i][/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]konstruiert; das [mm]r[/mm] ergab sich dann automatisch als [mm]r= a-qb[/mm]. [/i][/mm]
> [mm][i]In dem Deinem Text hat sich zum Ende hin ein SChreibefhler [/i][/mm]
> [mm][i]eingeschlichen: Es wird dort immer mit [mm]s[/mm] gerechnet, aber es [/i][/mm]
> [mm][i]muesste [mm]b[/mm] heissen.[/i][/mm]
Okay danke schön, dass war mir nicht klar. Dann habe ich das an der Tafel wohl leider falsch entziffert:-(
> [mm][i] Uebrigens sind nicht alle Ringe der Form [mm]\IZ[\sqrt{d}][/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]euklidisch.[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
Wir hatten das erwähnt, aber woran erkenne ich genau ob es euklidisch ist oder nicht? wie muss das d dafür gewählt sein?
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee,
im Prinzip musst du dir einen Euklidischen Ring vorstellen als eine Menge, in der man irgendwie teilen mit Rest definieren kann, so wie bei den ganzen Zahlen. In den ganzen Zahlen hat man zu [mm]x,y\in \mathbb{Z},\ y>0[/mm] eine eindeutige Darstellung der Form
[mm]x=qy+r,[/mm]
wobei [mm]0\leq r < y[/mm]. Um das zu verallgemeinern, benötigt man also eine Funktion [mm]\beta:R\to \mathbb{N}[/mm], die den Rest [mm]r[/mm] bewertet. Wenn ich dir einen Ring vor die Füße schmeiße (die Puristen des Forums mögen mir diese Ausdrucksweiße verzeihen) ist es schwierig zu verifizieren, ob dieser euklidisch ist. Um das nachzuweißen muss man eine entsprechende "Normfunktion" [mm]\beta:R\to \mathbb{N}[/mm] angeben.
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