Beliebig große Primzahllücken < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zwischen 2 aufeinanderfolgenden Primzahlen gibt es beliebig große Lücken.
direkter Beweis:Betrachte n aufeinanderfolgende natürliche Zahlen
(n+1)! +2 ist durch 2 teilbar
(n+1)! +3 ist durch 3 teilbar
..
..
(n+1)! +(n+1) ist durch (n+1) teilbar
mit n → ∞ wächst auch die Zahl der n aufeinanderfolgenden Primzahllücke → ∞.
qed |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Den obigen Beweis habe ich soweit verstanden, allerdings habe ich für n einfach mal ein paar Zahlen angeschaut und folgendes festgestellt:
Sei n=2, so gilt
1. (2+1)! +2=8 ist durch 2 teilbar
2. (2+1)! +3=9 ist durch 3 teilbar
3. (2+1)! +4=10 ist NICHT durch 4 teilbar, aber durch 2
4. (2+1)! +5=11 ist eine Primzahl
Sei n=3, so gilt
1. (3+1)! +2=26 ist durch 2 teilbar
2. (3+1)! +3=27 ist durch 3 teilbar
3. (3+1)! +4=28 ist durch 4 teilbar
4. (3+1)! +5=29 ist eine Primzahl
Meine Frage: laut dem obigen Beweis sollten doch fur n=2 Nr.3 und Nr. 4 jeweils durch 4 bzw. 5 teilbar sein. Genauso bei n=3 Nr.5. Wo ist hier mein Denkfehler?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Sa 16.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Zwischen 2 aufeinanderfolgenden Primzahlen gibt es beliebig
> große Lücken.
> direkter Beweis:Betrachte n aufeinanderfolgende
> natürliche Zahlen
>
> (n+1)! +2 ist durch 2 teilbar
> (n+1)! +3 ist durch 3 teilbar
> ..
> ..
> (n+1)! +(n+1) ist durch (n+1) teilbar
>
> mit n → ∞ wächst auch die Zahl der n
> aufeinanderfolgenden Primzahllücke → ∞.
> qed
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen!
>
> Den obigen Beweis habe ich soweit verstanden, allerdings
> habe ich für n einfach mal ein paar Zahlen angeschaut und
> folgendes festgestellt:
> Sei n=2, so gilt
> 1. (2+1)! +2=8 ist durch 2 teilbar
> 2. (2+1)! +3=9 ist durch 3 teilbar
Da hast du die Beweisidee nur begrenzt verstanden.
Im Beispiel wurden nur die Zahlen 2 bis (n+1) addiert.
Wenn du als Beispiel n=2 verwendest, darfst du nur bis (2+1), also bis 3 addieren.
> 3. (2+1)! +4=10 ist NICHT durch 4 teilbar, aber durch
> 2
> 4. (2+1)! +5=11 ist eine Primzahl
>
> Sei n=3, so gilt
> 1. (3+1)! +2=26 ist durch 2 teilbar
> 2. (3+1)! +3=27 ist durch 3 teilbar
> 3. (3+1)! +4=28 ist durch 4 teilbar
Ebenso endet hier die Gültigkeit deines Beispiels; es funktioniert nur bis 3+1=4.
Gruß Abakus
> 4. (3+1)! +5=29 ist eine Primzahl
>
> Meine Frage: laut dem obigen Beweis sollten doch fur n=2
> Nr.3 und Nr. 4 jeweils durch 4 bzw. 5 teilbar sein. Genauso
> bei n=3 Nr.5. Wo ist hier mein Denkfehler?
> Vielen Dank
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Super vielen Dank - jetzt hab ich es verstanden!!!!
DANKE
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