Bemerkung zu EV und EW < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Sa 06.05.2006 | | Autor: | AriR |
(Frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, wir haben in der Vorlesung folgende Bemerkung zu Eigenvektoren und Eigenwerte festgehalten:
Sei v EV von f zum EW [mm] \lambda. [/mm] Dann:
[mm] f(K*v)\subset [/mm] K*v
irgendwie verstehe ich diese zusammenhang nicht so ganz.
für f(K*v) kann man schreiben [mm] \lambda*K*v [/mm] also:
[mm] \lambda*K*v\subset [/mm] K*v
jetzt könnte man für K*v auch schreiben K*K*v (da K*K wieder in K)
dann könnte man ein K so wählen, dass dieses gerade lambda ist also K*K*v = [mm] \lambda*K*v
[/mm]
also steht da insgesammt
[mm] \lambda*K*v\subset \lambda*K*v
[/mm]
aber dies ist ja offensichtlich gleich und keine Teilmenge.
Kann mir da bitte einer weiterhelfen??
Gruß und danke im voraus =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (Frage zuvor nicht gestellt)
>
> Hey Leute, wir haben in der Vorlesung folgende Bemerkung zu
> Eigenvektoren und Eigenwerte festgehalten:
>
> Sei v EV von f zum EW [mm]\lambda.[/mm] Dann:
> [mm]f(K*v)\subset[/mm] K*v
>
> irgendwie verstehe ich diese zusammenhang nicht so ganz.
>
> für f(K*v) kann man schreiben [mm]\lambda*K*v[/mm] also:
> [mm]\lambda*K*v\subset[/mm] K*v
>
> jetzt könnte man für K*v auch schreiben K*K*v (da K*K
> wieder in K)
>
> dann könnte man ein K so wählen, dass dieses gerade lambda
Vorsicht! $K$ ist ein Koerper und kein Element des Koerpers! Du kannst also nicht davon reden `ein K' irgendwie passend zu waehlen!
> ist also K*K*v = [mm]\lambda*K*v[/mm]
Setz hier mal [mm] $\lambda [/mm] = 0$ ein. Dann siehst du das es nicht immer gleich ist!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 So 07.05.2006 | | Autor: | AriR |
ach ich glaube ich weiß wo mien fehler lag und zwar steht das K für die mult. von v mit dem Rest mit jedem element aus K.
Ich weiß aber immer noch nicht wie man beweisen kann, dass
[mm] \lambda*K*v\subset [/mm] K*v
ist, obwohl es sicher recht einfach geht.
Kannst du mir das vielleicht noch bitte sagen?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 So 07.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> [mm]\lambda*K*v\subset[/mm] K*v
>
ich weiß immer noch nicht, was K*v sein soll, ich denke mal folgendes:
[mm] $K*v=_K=\{ k*v | \forall k\in K \}$
[/mm]
wenn Lambda dann allerdings auch in K ist, dann ist [mm] $\lambda *K=\{ \lambda *k | \forall k\in K \}\subseteq [/mm] K$ denn K ist bzgl multiplikation abgeschlossen...
aber dann ist obige Inklusion doch schon klar, oder?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 So 07.05.2006 | | Autor: | AriR |
ergibt denn [mm] \lambda*K [/mm] nicht wieder K ??
wenn [mm] K=\IR [/mm] ist, dann bekomme ich doch wenn ich jedes element aus [mm] \IR [/mm] mit sagen wir mal 5 mulitipliziere wieder alle elmente aus [mm] \IR [/mm] oder nicht?
danke schonmal im voraus.
@DaMenge Ja die Def. von K hast du richtig verstanden =)
Gruß Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 So 07.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
für [mm] $\lambda [/mm] =0 $ kommt natürlich nicht ganz K raus...
ich denke aber für alle anderen sollte wieder K rauskommen
(auch bei endlichen Körpern, aber da sollte man sich nochmal Gedanken zu machen)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich denke aber für alle anderen sollte wieder K rauskommen
> (auch bei endlichen Körpern, aber da sollte man sich
> nochmal Gedanken zu machen)
Bei jedem Element [mm] $\lambda \neq [/mm] 0$ ist [mm] $\lambda [/mm] K = K$ fuer jeden Koerper $K$. Und wenn $R$ ein beliebiger Ring (mit Eins) ist und $r [mm] \in R^\ast$ [/mm] eine Einheit, dann ist ebenso $r R = R$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 So 07.05.2006 | | Autor: | AriR |
hey danke für die antworten :)
also ist [mm] \lambda*K*v [/mm] = K*v für alle [mm] \lambda\not=0
[/mm]
und wegen diesem fall schreibt man [mm] \lambda*K*v\subset [/mm] K*v
habe ich das richtig verstanden?
wenn ja, was wollte der prof mit dieser bemerkung verdeutlichen? eigentlich ist das ja keine "anschauliche" Teilemenge, wenn ihr versteht was ich meine..
Gruß Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> also ist [mm]\lambda*K*v[/mm] = K*v für alle [mm]\lambda\not=0[/mm]
>
> und wegen diesem fall schreibt man [mm]\lambda*K*v\subset[/mm] K*v
>
> habe ich das richtig verstanden?
Genau.
> wenn ja, was wollte der prof mit dieser bemerkung
> verdeutlichen? eigentlich ist das ja keine "anschauliche"
> Teilemenge, wenn ihr versteht was ich meine..
Doch, die ist sehr anschaulich: $K v$ ist der Untervektorraum, der von $v$ erzeugt wird. Und die Bemerkung sagt nichts anderes, als dass dieser von dem Endomorphismus wieder in sich selber abgebildet wird.
LG Felix
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