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Berechenbarkeit: Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:21 So 29.11.2009
Autor: stefan00

Aufgabe
Die Funktion [mm] $f:\subseteq\IN^4\to\IN$ [/mm] sei definiert durch [mm] $f(i,j,x,y):=\phi_i^{\phi_j(x)}(y)$ [/mm] für alle $i,j,x,y [mm] \in \IN$. [/mm] Zeigen Sie, dass $f$ berechenbar ist.

Hallo,

hat jemand einen Tipp, wie ich hier vorgehen muss? utm/smn-Theorem benutzen, Satz von Rogers? Ich hab irgendwie leider noch keine Idee.

Vielen Dank für die Hilfe.

Gruß, Stefan.

        
Bezug
Berechenbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:12 Mi 02.12.2009
Autor: felixf

Hallo Stefan.

> Die Funktion [mm]f:\subseteq\IN^4\to\IN[/mm] sei definiert durch
> [mm]f(i,j,x,y):=\phi_i^{\phi_j(x)}(y)[/mm] für alle [mm]i,j,x,y \in \IN[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]f[/mm] berechenbar ist.

Wenn du uns mitteilen wuerdest, was die ganzen [mm] $\phi$s [/mm] bedeuten sollen, und was genau ihr unter berechenbar (Turing-berechenbar?) versteht, koennten wir dir evtl. weiterhelfen.

> utm/smn-Theorem benutzen,

Was ist das?

> Satz von Rogers?

Meinst du den Aequivalenzsatz / das Isomorphietheorem (oder wie auch immer das noch so heisst)?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Berechenbarkeit: Erklärung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:03 Do 03.12.2009
Autor: stefan00

Hallo Felix,

> Wenn du uns mitteilen wuerdest, was die ganzen [mm]\phi[/mm]s
> bedeuten sollen, und was genau ihr unter berechenbar
> (Turing-berechenbar?) versteht, koennten wir dir evtl.
> weiterhelfen.

ok, ich gebe mal die Definitionen an, die evtl. wichtig sein könnten:

Definition: Standardnummerierung [mm] $\phi$: [/mm]
1. Es ist eine Ordnungsfunktion [mm] $a:{1,...,8}\to \Omega$ [/mm] definiert durch
[mm] $(a_1|a_2|...|a_8):=(1|B|(|)|:|,|R|L)$. [/mm] Es sei [mm] $\nu_\Omega$ [/mm] die aus a abgeleitete Standardnummerierung von [mm] $\Omega^\*$. [/mm]
2. Es sei [mm] $\nu_P:\IN\toBP$ [/mm] definiert durch
[mm] $\nu_P(i)=\begin{cases} \nu_\Omega(i), & \mbox{falls } \nu_\Omega(i) \in \mbox{ BP} \\ "(:B,,)", & \mbox{sonst. } \end{cases}$ [/mm]
3. Es sei [mm] $\xi:BM\toP^{(1)}$ [/mm] definiert durch [mm] $\xi(M):=\iota^{-1}f_M\iota$ [/mm] (wobei [mm] $\iota:\IN\to\{1\}^\*,\iota(i):=1^i$). [/mm]
4. Dann sei [mm] $\phi: \IN \to P^{(1)}$ [/mm] definiert durch [mm] $\phi_i:=\phi(i):=\xi\nu_M\nu_P(i)$ [/mm] für alle [mm] $i\in\IN$. [/mm] Die Nummerierung [mm] $\phi$ [/mm] heißt die Standardnummerierung von [mm] $P^{(1)}$. [/mm]

>  
> > utm/smn-Theorem benutzen,
>  
> Was ist das?

Satz: utm-Theorem
Die Funktion [mm] $u_\phi:\subseteq\IN^2\to\IN$ [/mm] sei definiert durch [mm] $u_\phi(i,x):=\phi_i(x)$ [/mm] für alle $i,x [mm] \in \IN$. [/mm]
Dann ist [mm] $u_\phi$ [/mm] berechenbar. (Man nennt [mm] $u_\phi$ [/mm] die universelle Funktion von [mm] $\phi$.) [/mm]

Satz: smn–Theorem, Übersetzungslemma
Es sei $f [mm] \in P^{(2)}$ [/mm] eine beliebige zweistellige berechenbare Funktion. Dann gibt es eine total-rekursive Funktion $r [mm] \in R^{(1)}$ [/mm] mit [mm] $f(i,j)=\phi_{r(i)}(j)$ [/mm] für alle [mm] $i,j\in\IN$. [/mm]

Ich hoffe, das hellt die Sache etwas auf.

Vielen Dank für die Hilfe, Gruß, Stefan.

Bezug
        
Bezug
Berechenbarkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Di 08.12.2009
Autor: matux

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