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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 So 12.05.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Berechne alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung:
[mm] (z+1+i)(z-3-i)=\bruch{-40i}{1+3i} [/mm] |
Hallo,
kurze Frage zu obiger Aufgabe.
Ausgeklammert ergibt sich das folgende:
[mm] z^{2}-2z-4i-2=\bruch{-40i}{1+3i}
[/mm]
Der Ansatz ist die P-Q-Formel, dafür muss die rechte Seite noch auf 0 umgeformt werden. Das würde ich mit dem komplex konjugierten machen, sodass im Nenner eine reelle Zahl steht.
Meine Frage ist nun, ob das geht. Denn normalerweise muss man doch eine Rechenoperation auf beiden Seiten ausführen. Laut Lösung macht man das aber nur auf der rechten Seite. Wieso ist das so?
Als Lösung ergibt sich dann:
[mm] z^{2}-2z-4i-2=\bruch{-40i(1-3i)}{10}
[/mm]
Das nach null umformen ist nicht weiter schwierig. Allerdings hätte ich jetzt die linke Seite auch mit folgendem multipliziert:
[mm] \bruch{(1-3i)}{(1-3i)}
[/mm]
Warum muss man das aber nicht tun, also warum greift hier nicht die Regel "alles damit zu multiplizieren / erweitern"? Man ändert ja nichts an der Lösungsmenge, wenn man die rechte Seite mit 1 erweitert, aber muss man das nicht trotzdem auf beiden Seiten machen?
Ich hoffe, meine Frage ist einigermassen verständlich und mir kann jemand helfen.
Vielen Dank und noch einen schönen Restsonntag
poeddl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 So 12.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechne alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung:
>
> [mm](z+1+i)(z-3-i)=\bruch{-40i}{1+3i}[/mm]
> Hallo,
> kurze Frage zu obiger Aufgabe.
>
> Ausgeklammert ergibt sich das folgende:
>
> [mm]z^{2}-2z-4i-2=\bruch{-40i}{1+3i}[/mm]
>
> Der Ansatz ist die P-Q-Formel, dafür muss die rechte Seite
> noch auf 0 umgeformt werden. Das würde ich mit dem komplex
> konjugierten machen, sodass im Nenner eine reelle Zahl
> steht.
>
> Meine Frage ist nun, ob das geht. Denn normalerweise muss
> man doch eine Rechenoperation auf beiden Seiten ausführen.
Ja, aber das Erweitern eines Bruches ist keine Äquivalenzumformung der Gleichung.
Es gilt aber in der Tat
[mm] -\frac{40i}{1+3i}=-\frac{40i\cdot(1-3i)}{(1+3i)\cdot(1-3i)}=-\frac{40i\cdot(1-3i)}{10}=-4i\cdot(1-3i)=-4i+12i^{2}=-4i-12
[/mm]
> Laut Lösung macht man das aber nur auf der rechten Seite.
> Wieso ist das so?
>
> Als Lösung ergibt sich dann:
> [mm]z^{2}-2z-4i-2=\bruch{-40i(1-3i)}{10}[/mm]
>
> Das nach null umformen ist nicht weiter schwierig.
> Allerdings hätte ich jetzt die linke Seite auch mit
> folgendem multipliziert:
> [mm]\bruch{(1-3i)}{(1-3i)}[/mm]
>
> Warum muss man das aber nicht tun, also warum greift hier
> nicht die Regel "alles damit zu multiplizieren /
> erweitern"? Man ändert ja nichts an der Lösungsmenge,
> wenn man die rechte Seite mit 1 erweitert, aber muss man
> das nicht trotzdem auf beiden Seiten machen?
Weil du "nur" den Bruch erweitern musst.
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> Ich hoffe, meine Frage ist einigermassen verständlich und
> mir kann jemand helfen.
Ich hoffe, ich konnte
>
> Vielen Dank und noch einen schönen Restsonntag
> poeddl
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 So 12.05.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo!
Ja, du konntest mir sehr viel weiterhelfen. Vielen lieben Dank!
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