Berechnen des Taylorpolynom < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Sa 25.04.2009 | | Autor: | serbet |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Taylorpolynom [mm] p_{4}(x) [/mm] der Funktion [mm] f(x)=e^{cos x} [/mm] an der Stelle [mm] x_{0}=0. [/mm] |
Ich habe versucht diese Aufgabe irgendwie zu lösen. Habe zuerst die Ableitungen der Funktion gebildet, da man das Taylorpolynom folgendermaßen berechnet:
[mm] p_{n}(x)= \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(x_{0})}{k!} (x-x_{0})^{k}
[/mm]
die Ableitungen lauten bei mir:
[mm] f^{'}(x)=-sinxe^{cosx}
[/mm]
[mm] f^{''}(x)=e^{cos x}(sin²x-cosx)
[/mm]
[mm] f^{'''}(x)=e^{cosx}sinx(cos²x+3cosx)
[/mm]
weil ich das Taylorpolynom für n=4 berechnen soll muss ich ja 4 Ableitungen bilden, bei der 4. Ableitung hab ich mir ein Wurm gerechnet und komme nicht weiter, ich habe ganz am Ende jetzt folgendes stehen:
[mm] f^{''''}(x)=e^{cosx}(-sin²x+cosx(cos²x+3cosx)+e^{cosx}sin²x(-2cosx-3)
[/mm]
jetzt weiß ich nicht ob die Ableitung so richtig ist und wenn ja wie ich fortzufahren habe.
Kann mir irgendjemanden bitte helfen...?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Frasier |
Hallo serbet,
prüfe mal die dritte Ableitung, da fehlt irgendwo ein sin(x).
Wenn die die Ableitungen hast brauchst du eigentlich nur noch einzusetzen. Zur besseren Übersicht schreibe dir mal die Summe für n=4 aus.
lg
F.
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Hallo Frasier,
> Hallo serbet,
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> prüfe mal die dritte Ableitung, da fehlt irgendwo ein
> sin(x). ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das hat er ausgeklammert und die 1 als [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)$ [/mm] geschrieben, womit einmal [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] in der Klammer wegfällt
Die ersten 3 Ableitungen sind alle korrekt!
> Wenn die die Ableitungen hast brauchst du eigentlich nur
> noch einzusetzen. Zur besseren Übersicht schreibe dir mal
> die Summe für n=4 aus.
>
> lg
> F.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Frasier |
Hallo,
danke für die Korrektur. Jetzt hab ich es auch gemerkt.
lg
F.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Sa 25.04.2009 | | Autor: | serbet |
Gut, dass die ersten 3 Ableitungen schon mal richtig sind, aber was ist mit der 4.? Weil da kam ich überhaupt nicht voran...
und wie muss ich das dan am ende einsetzen einfach nur
[mm] p_{4}(x)=f^{'}(x_{0}) (x-x_{0})+\bruch{1}{2} f^{''}(x_{0})(x-x_{0})²+\bruch{1}{1*2*3} f^{'''}(x_{0})(x-x_{0})³+\bruch{1}{1*2*3*4} f^{''''}(x_{0})(x-x_{0})^{4}
[/mm]
muss ich da nichts anderes machen, weil bei der Aufgabenstellung soll ich ja [mm] x_{0}=0 [/mm] berechnen... Ich weiß nicht, wie ich das mit in der Aufgabe berücksichtigen soll...
Vielen Dank schon mal;)
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> Gut, dass die ersten 3 Ableitungen schon mal richtig sind,
> aber was ist mit der 4.? Weil da kam ich überhaupt nicht
> voran...
Mir fällt da jetzt leider kein Trick ein. Da hilft wohl nur Fleißarbeit... mehrfaches anwenden der Produktregel.
> und wie muss ich das dan am ende einsetzen einfach nur
>
> [mm]p_{4}(x)=f^{'}(x_{0}) (x-x_{0})+\bruch{1}{2} f^{''}(x_{0})(x-x_{0})²+\bruch{1}{1*2*3} f^{'''}(x_{0})(x-x_{0})³+\bruch{1}{1*2*3*4} f^{''''}(x_{0})(x-x_{0})^{4}[/mm]
>
Korrekt!
> muss ich da nichts anderes machen, weil bei der
> Aufgabenstellung soll ich ja [mm]x_{0}=0[/mm] berechnen... Ich weiß
> nicht, wie ich das mit in der Aufgabe berücksichtigen
> soll...
Also dann ersetze einfach [mm] x_0 [/mm] durch 0.  Sprich, du musst noch die Ableitungen an der Stelle 0 auswerten.
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> Vielen Dank schon mal;)
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